УСЛОВНА ВЕРОЯТНОСТ: ФОРМУЛА И УРАВНЕНИЯ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ - ДУДА - 2025

На условната вероятност е възможността за възникване на дадено събитие, тъй като друг възниква като състояние. Тази допълнителна информация може (или не може) да промени възприемането, че нещо ще се случи.

Например, можем да се запитаме: "Каква е вероятността днес да вали, като се има предвид, че не е валяло два дни?" Събитието, за което искаме да знаем вероятността, е, че днес вали, а допълнителната информация, която би обусловила отговора, е, че „не е валяло два дни“.

Фигура 1. Вероятността, че днес ще вали, като се има предвид, че валя вчера, също е пример за условна вероятност. Източник: Pixabay

Нека вероятностното пространство се състои от Ω (примерно пространство), ℬ (случайни събития) и P (вероятността на всяко събитие), плюс събитията A и B, които принадлежат на ℬ.

Условната вероятност за възникване на A, като се има предвид, че е възникнал B, който се обозначава като P (A│B), се определя както следва:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A и B) / P (B)

Където: P (A) е вероятността за възникване на A, P (B) е вероятността от събитие B и е различна от 0, а P (A∩B) е вероятността от пресичане между A и B, т.е., вероятността да се случат и двете събития (съвместна вероятност).

Това е израз на теоремата на Байес, приложена към две събития, предложена през 1763 г. от английския богослов и математик Томас Байес.

Имоти

-Всичката условна вероятност е между 0 и 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- Вероятността да се случи събитие А, като се има предвид, че се случи споменатото събитие, очевидно е 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Ако две събития са изключителни, тоест събития, които не могат да се случат едновременно, тогава условната вероятност едно от тях да се случи е 0, тъй като пресечната точка е нула:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Ако B е подмножество на A, тогава условната вероятност е също 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

важно

P (A│B) по принцип не е равен на P (B│A), следователно трябва да внимаваме да не обменяме събитията, когато намираме условната вероятност.

Общо правило за умножение

Много пъти искате да намерите съвместната вероятност P (A∩B), а не условната вероятност. След това чрез следната теорема имаме:

P (A∩B) = P (A и B) = P (A│B). P (B)

Теоремата може да бъде разширена за три събития A, B и C:

P (A∩B∩C) = P (A и B и C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

И също така за различни събития, като A ₁, A ₂, A ₃ и повече, може да се изрази по следния начин:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ │A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Когато случаите се случват последователно и през различни етапи, е удобно да се организират данните в диаграма или таблица. Това улеснява визуализирането на опциите за достигане на исканата вероятност.

Примери са диаграмата на дърветата и таблицата за непредвидени ситуации. От един от тях можете да изградите другия.

Примери за условна вероятност

Нека разгледаме някои ситуации, в които вероятностите за едно събитие са променени от появата на друго:

- Пример 1

В сладък магазин се продават два вида торти: ягода и шоколад. Регистрирайки предпочитанията на 50 клиенти и от двата пола, бяха определени следните стойности:

-27 жени, от които 11 предпочитат ягодова торта и 16 шоколадови.

-23 мъже: 15 изберете шоколад и 8 ягоди.

Вероятността клиент да избере шоколадова торта може да бъде определена чрез прилагане на правилото на Лаплас, според което вероятността за всяко събитие е:

P = брой благоприятни събития / общ брой събития

В този случай от 50 клиенти общо 31 предпочитат шоколад, така че вероятността би била P = 31/50 = 0.62. Тоест 62% от клиентите предпочитат шоколадова торта.

Но би било по-различно, ако клиентът е жена? Това е случай на условна вероятност.

Таблица за извънредни ситуации

Използвайки подобна таблица за извънредни ситуации, сумите се показват лесно:

Тогава се наблюдават благоприятните случаи и се прилага правилото на Лаплас, но първо дефинираме събитията:

-B е събитието „женски клиент“.

-А е събитието „предпочитай шоколадовата торта“ като жена.

Отиваме в колоната с надпис „жени“ и там виждаме, че общият брой е 27.

Тогава се търси благоприятният случай в редицата "шоколад". Има 16 от тези събития, следователно търсената вероятност е директно:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% от клиентите предпочитат шоколадова торта.

Тази стойност съвпада, когато я сравним с първоначално зададената дефиниция на условната вероятност:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Уверяваме се, че използваме правилото на Лаплас и стойностите на таблицата:

P (B) = 27/50

P (A и B) = 16/50

Където P (A и B) е вероятността клиентът да предпочита шоколада и да е жена. Сега стойностите са заместени:

P (A│B) = P (A и B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

И е доказано, че резултатът е същият.

- Пример 2

В този пример важи правилото за умножение. Да предположим, че в магазина има панталони в три размера: малки, средни и големи.

В много с общо 24 панталони, от които има 8 от всеки размер и всички са смесени, каква би била вероятността да извадите два от тях и че и двете са малки?

Ясно е, че вероятността да свалите малък панталон при първия опит е 8/24 = 1/3. Сега второто извличане е условно на първото събитие, тъй като при свалянето на чифт панталони вече няма 24, а 23. И ако се свалят малки панталони, има 7 вместо 8.

Събитие А дърпа един малък панталон, като извади още един при първия опит. И събитие Б е това с малките панталони за първи път. По този начин:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

И накрая, използвайки правилото за умножение:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Упражнението е разрешено

В проучване на точността на търговските въздушни полети са достъпни следните данни:

-P (B) = 0.83, е вероятността самолет да излети навреме.

-P (A) = 0.81, е вероятността за кацане навреме.

-P (B∩A) = 0.78 е вероятността полетът да пристигне навреме, излитайки навреме.

Той се изисква да се изчисли:

а) Каква е вероятността самолетът да кацне навреме, като се има предвид, че е излетял навреме?

б) Горната вероятност съвпада ли с вероятността, която сте напуснали навреме, ако сте успели да кацнете навреме?

в) И накрая: каква е вероятността тя да пристигне навреме, като се има предвид, че не е напуснал навреме?

Фигура 2. Точността на търговските полети е важна, тъй като забавянията генерират загуби от милиони долари. Източник: Pixabay

Решение за

За да се отговори на въпроса се използва дефиницията на условната вероятност:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A и B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

Решение b

В този случай събитията в определението се обменят:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A и B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

Обърнете внимание, че тази вероятност е малко по-различна от предишната, както посочихме по-рано.

Решение c

Вероятността да не заминавате навреме е 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17, ще го наречем P (B ^C), защото това е допълващото събитие, което трябва да излети навреме. Търсената условна вероятност е:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A и B ^C) / P (B ^C)

От друга страна:

P (A∩B ^C) = P (кацане навреме) - P (кацане навреме и излитане навреме) = 0.81-0.78 = 0.03

В този случай търсената условна вероятност е:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Препратки

1. Canavos, G. 1988. Вероятност и статистика: Приложения и методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Вероятност и статистика за инженерство и наука. 8-ми. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вероятност. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Теория на вероятността. Редакторска лимуза.
5. Walpole, R. 2007. Вероятност и статистика за инженерни науки. Пиърсън.
6. Wikipedia. Условна вероятност. Възстановено от: es.wikipedia.org.