ТЕОРЕТИЧНА ВЕРОЯТНОСТ: КАК ДА ГО ПОЛУЧИТЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДА - 2025

В теоретичен (или Лаплас) вероятността, че едно събитие E случва, че принадлежи към проба пространство S, при което всички събития имат еднаква вероятност на появяване, се определя в математически нотация като: P (Е) = N (Е) / N (S)

Където P (E) е вероятността, дадена като коефициент между общия брой възможни резултати от събитие E, който ние наричаме n (E), разделен на общия брой N (S) на възможните резултати в пространството на извадката S.

Фигура 1. При хвърлянето на шестстранна матрица теоретичната вероятност тристранната глава да е отгоре е ⅙. Източник: Pixabay

Теоретичната вероятност е реално число между 0 и 1, но често се изразява като процент, в този случай вероятността ще бъде стойност между 0% и 100%.

Изчисляването на вероятността да се случи събитие е много важно в много области, като търговия, застрахователни компании, хазарт и много други.

Как да получите теоретичната вероятност?

Илюстративен случай е случаят с томболи или лотарии. Да предположим, че са издадени 1000 билета за томбола на смартфон. Тъй като тегленето е рандомизирано, всеки от билетите има равен шанс да бъде победител.

За да намерите вероятността човек, който закупи билет с номер 81, е победител, се извършва следното теоретично изчисление на вероятността:

P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%

Горният резултат се тълкува по следния начин: ако жребият се повтори безкрайно много пъти, на всеки 1000 пъти билет 81 би бил избран средно веднъж.

Ако по някаква причина някой придобие всички билети е сигурно, че ще спечели наградата. Вероятността да спечелите наградата, ако имате всички билети, се изчислява, както следва:

P (1000) = 1,000 / 1,000 = 1 = 100%.

Тоест, тази вероятност 1 или 100% означава, че е напълно сигурно, че този резултат ще настъпи.

Ако някой притежава 500 билета, шансовете за победа или загуба са същите. Теоретичната вероятност за спечелване на наградата в този случай се изчислява, както следва:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Този, който не купи нито един билет, няма шанс да спечели и теоретичната му вероятност се определя, както следва:

P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0%

Примери

Пример 1

Имате монета с лице от едната страна и щит или печат от другата. Когато монетата е хвърлена, каква е теоретичната вероятност тя да излезе глава?

P (лице) = n (лице) / N (лице + щит) = ½ = 0,5 = 50%

Резултатът се тълкува по следния начин: ако бяха направени огромен брой хвърляния, средно на всеки 2 хвърляния един от тях би излязъл с глава.

В процентно отношение интерпретацията на резултата е, че ако се направи безкрайно голям брой хвърляния, средно от 100 от тях 50 би довело до глави.

Пример 2

В кутия има 3 сини мрамора, 2 червени мрамора и 1 зелено. Каква е теоретичната вероятност, когато извадите мрамор от кутията, той ще бъде червен?

Фигура 2. Вероятност за извличане на цветни мрамори. Източник: Ф. Сапата.

Вероятността да излезе червено е:

P (червен) = Брой благоприятни случаи / Брой възможни случаи

Това означава:

P (червен) = Брой червени мрамори / Общ брой мрамори

И накрая, вероятността че е нарисуван червен мрамор е:

P (червен) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Макар че вероятността, когато рисувате зелен мрамор, е:

P (зелен) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

И накрая, теоретичната вероятност за получаване на син мрамор при сляпо извличане е:

P (син) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Тоест, за всеки 2 опита резултатът ще бъде син в един от тях и друг цвят в друг опит, при условие, че извлеченият мрамор е заменен и броят на изпитанията е много, много голям.

Упражнения

Упражнение 1

Определете вероятността преобръщане на матрица да получи стойност, по-малка или равна на 4.

Решение

За да се изчисли вероятността от възникване на това събитие, ще се приложи определението на теоретичната вероятност:

P (≤4) = Брой благоприятни случаи / Брой възможни случаи

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Упражнение 2

Намерете вероятността при две последователни хвърляния на нормална шестстранна умира 5 да се търкаля 2 пъти.

Решение

За да отговорите на това упражнение, направете таблица, в която ще покажете всички възможности. Първата цифра показва резултата от първата матрица, а втората - резултата от втората.

За да изчислим теоретичната вероятност трябва да знаем общия брой възможни случаи, в този случай, както се вижда от предишната таблица, има 36 възможности.

Като се наблюдава и таблицата, се прави изводът, че броят на случаите, благоприятни за събитието, че при двете последователни изстрелвания излиза 5, е само 1, подчертан с цвят, следователно вероятността това събитие да се случи е:

P (5 x 5) = 1/36.

До този резултат би могло да се стигне и при използване на едно от свойствата на теоретичната вероятност, което заявява, че комбинираната вероятност за две независими събития е резултат от техните индивидуални вероятности.

В този случай вероятността първият хвърляне да хвърли 5 е ⅙. Второто хвърляне е напълно независимо от първото, следователно вероятността 5 да се търкаля във втората също е ⅙. Така че комбинираната вероятност е:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Упражнение 3

Намерете вероятността число, по-малко от 2, да се търкаля на първото хвърляне, а число, по-голямо от 2, да се търкаля на второто.

Решение

Отново трябва да се изгради таблица на възможните събития, където тези, в които първото хвърляне е било по-малко от 2, а във второто е по-голямо от 2.

Общо има 4 възможности от общо 36. Тоест вероятността от това събитие е:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Използвайки теоремата за вероятността, която гласи:

Получава се същия резултат:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Стойността, получена с тази процедура, съвпада с предходната резултат, чрез теоретично или класическо определение на вероятността.

Упражнение 4

Каква е вероятността при хвърляне на две зарчета сумата от стойностите е 7.

Решение

За да се намери решението в този случай, е съставена таблица с възможности, в която случаите, които отговарят на условието сумата от стойностите да е 7, са посочени в цвят.

Разглеждайки таблицата, може да се преброят 6 възможни случая, така че вероятността е:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Препратки

1. Canavos, G. 1988. Вероятност и статистика: Приложения и методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Вероятност и статистика за инженерство и наука. 8-ми. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вероятност. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Теория на вероятността. Редакторска лимуза.
5. Walpole, R. 2007. Вероятност и статистика за инженерни науки. Пиърсън.