КАКВО ПРЕДСТАВЛЯВАТ ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ГРАНИЦИ? (УПРАЖНЕНИЯ РЕШЕНИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На тригонометрични границите граници на функции, така че тези функции са образувани чрез тригонометрични функции.

Има две определения, които трябва да бъдат известни, за да се разбере как да се изчисли тригонометрична граница.

Тези определения са:

- Ограничение на функция «f», когато «x» има тенденция към «b»: тя се състои в изчисляване на стойността, към която f (x) се приближава, като «x» се приближава до «b», без да достига до «b» ».

- Тригонометрични функции: тригонометричните функции са синусите, косинусите и допирателните функции, обозначени съответно със sin (x), cos (x) и tan (x).

Останалите тригонометрични функции са получени от трите споменати по-горе функции.

Функционални граници

За да изясним понятието за ограничение на функциите, ще продължим да показваме някои примери с прости функции.

- Ограничението на f (x) = 3, когато "x" клони към "8", е равно на "3", тъй като функцията винаги е постоянна. Без значение колко струва "x", стойността на f (x) винаги ще бъде "3".

- Ограничението на f (x) = x-2, когато «x» има тенденция към «6», е «4». От когато "x" се приближава до "6", тогава "x-2" приближава "6-2 = 4".

- Ограничението от g (x) = x², когато "x" клони към "3", е равно на 9, тъй като когато "x" се приближава до "3", тогава "x²" се приближава до "3² = 9",

Както може да се види в предходните примери, изчисляването на лимит се състои в оценка на стойността, към която „x“ клони във функцията, а резултатът ще бъде стойността на ограничението, въпреки че това е вярно само за непрекъснати функции.

Има ли по-сложни граници?

Отговорът е да. Горните примери са най-простите примери за ограничения. В калкулационните книги основните упражнения за ограничения са тези, които генерират неопределеност от типа 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Тези изрази се наричат ​​неопределености, тъй като те са изрази, които нямат смисъл математически.

Освен това, в зависимост от функциите, включени в първоначалния лимит, резултатът, получен при решаването на неопределеностите, може да бъде различен за всеки случай.

Примери за прости тригонометрични граници

За да разрешите ограниченията, винаги е много полезно да знаете графиките на участващите функции. Графиките на синусите, косинусите и допирателните функции са показани по-долу.

Някои примери за прости тригонометрични граници са:

- Изчислете границата на греха (x), когато «x» има тенденция към «0».

Когато гледате графиката, може да се види, че ако "x" се доближи до "0" (и отляво, и отдясно), тогава задължителната графика също се доближава до "0". Следователно, границата на sin (x), когато "x" клони към "0", е "0".

- Изчислете лимита на cos (x), когато «x» има тенденция към «0».

Наблюдавайки графиката на косинуса, може да се види, че когато "x" е близо до "0", тогава графиката на косинуса е близка до "1". Това означава, че границата на cos (x), когато "x" клони към "0", е равна на "1".

Ограничение може да съществува (да бъде число), както в предишните примери, но може също така да се случи, че не съществува, както е показано в следващия пример.

- Ограничението на тен (x), когато «x» клони към «Π / 2» отляво, е равно на «+ ∞», както може да се види на графиката. От друга страна, границата на тен (x), когато "x" клони към "-Π / 2" отдясно, е равна на "-∞".

Тригонометрични ограничения на идентичностите

Две много полезни идентичности при изчисляване на тригонометрични граници са:

- Ограничението на «sin (x) / x», когато «x» има тенденция към «0», е равно на «1».

- Ограничението на «(1-cos (x)) / x», когато «x» има тенденция към «0», е равно на «0».

Тези самоличности се използват много често, когато имате някаква неопределеност.

Решени упражнения

Решете за следните граници, използвайки описаните по-горе идентичности.

- Изчислете границата от «f (x) = sin (3x) / x», когато «x» има тенденция към «0».

Ако функцията "f" е оценена на "0", ще се получи неопределеност от тип 0/0. Затова трябва да се опитаме да разрешим тази неопределеност, като използваме описаните идентичности.

Единствената разлика между тази граница и идентичността е числото 3, което се появява в рамките на задължителната функция. За да се приложи идентичността, функцията «f (x)» трябва да бъде пренаписана по следния начин «3 * (sin (3x) / 3x)». Сега и аргументът sine, и знаменателят са равни.

Така че, когато "x" има тенденция към "0", използването на идентичността дава "3 * 1 = 3". Следователно, границата на f (x), когато "x" клони към "0", е равна на "3".

- Изчислете границата от «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», когато «x» има тенденция към «0».

Когато "x = 0" е заместен в g (x), се получава неопределеност от типа ∞-∞. За да се реши, фракциите първо се изваждат, което дава "(1-cos (x)) / x".

Сега, прилагайки втората тригонометрична идентичност, имаме, че границата на g (x), когато "x" клони към "0", е равна на 0.

- Изчислете границата от «h (x) = 4tan (5x) / 5x», когато «x» има тенденция към «0».

Отново, ако h (x) се оцени при "0", ще се получи неопределеност от тип 0/0.

Пренаписването като (5x) като sin (5x) / cos (5x) води до h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Използвайки, че границата от 4 / cos (x), когато "x" има тенденция към "0", е равна на "4/1 = 4" и се получава първата тригонометрична идентичност, че границата на h (x), когато "x" има тенденция a "0" е равно на "1 * 4 = 4".

наблюдение

Тригонометричните граници не винаги са лесни за решаване. В тази статия бяха показани само основни примери.

Препратки

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Математика на прекалкула. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Прекалкулна математика: подход за решаване на проблеми (2, илюстрирано изд.). Мичиган: зала Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Предкалкул (8 изд.). Учене в Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналитична геометрия. Mérida - Венецуела: Редакция Венезолана CA
6. Перес, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисляване (Девето изд.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференциално смятане с ранни трансцендентни функции за науката и инженерството (второ издание изд.). Хипотенуза.
9. Скот, Калифорния (2009). Декартова плоска геометрия, част: Аналитични коники (1907 г.) (преиздаване изд.). Източник на мълния.
10. Съливан, М. (1997). Precalculation. Pearson Education.