ДИАМЕТЪР: СИМВОЛИ И ФОРМУЛИ, КАК ДА ГО ПОЛУЧИТЕ, ОБИКОЛКА - МАТЕМАТИКА - 2025

В диаметър е права линия, която преминава през центъра на затворена плоска крива или цифра в две или три измерения и че също се присъединява към своите противоположни точки. Обикновено това е кръг (плоска крива), кръг (плоска фигура), сфера или десен кръгъл цилиндър (триизмерни обекти).

Въпреки че обиколката и кръгът обикновено се приемат като синоними, има разлика между двата термина. Обиколката е затворената крива, която обхваща окръжността, която отговаря на условието, че разстоянието между която и да е от нейните точки и центъра е същото. Това разстояние не е различно от радиуса на обиколката. Вместо това кръгът е плоска фигура, ограничена от обиколката.

Фигура 1. Диаметърът на колелата за велосипеди е важна характеристика в техния дизайн. Източник: Pixabay

В случай на обиколка, кръг и сфера, диаметърът е прав сегмент, който съдържа най-малко три точки: центърът плюс две точки от ръба на обиколката или окръжността или повърхността на сферата.

А що се отнася до десния кръгъл цилиндър, диаметърът се отнася до напречното сечение, което заедно с височината са неговите два характерни параметъра.

Диаметърът на обиколката и окръжността, символизирани с ø или просто буквата „D“ или „d“, е свързан с нейния периметър, контур или дължина, които се означават с буквата L:

L = π.D = π. или

Всеки път, когато има обиколка, коефициентът между неговата дължина и диаметър е ирационалното число π = 3.14159…, по този начин:

π = L / D

Как да получите диаметъра?

Когато имате чертежа на обиколката или кръга, или директно кръговия предмет, например монета или пръстен, е много лесно да намерите диаметъра с линийка. Просто трябва да сте сигурни, че ръбът на владетеля докосва едновременно две точки по обиколката и центъра на нея.

Амортисьор, шпон или шублер е много подходящ за измерване на външен и вътрешен диаметър върху монети, обръчи, пръстени, гайки, тръби и други.

Фигура 2. Цифров верниер, измерващ диаметъра на монета. Източник: Pixabay

Ако вместо обект или неговия чертеж имаме данни като радиус R, след това умножавайки по 2 имаме диаметъра. И ако дължината или периметърът на обиколката са известни, диаметърът също може да бъде известен чрез изчистване:

Друг начин да намерите диаметъра е като знаете площта на кръга, сферичната повърхност, напречното сечение на цилиндъра, извитата площ на цилиндъра или обемите на сферата или цилиндъра. Всичко зависи от това каква геометрична фигура е тя. Например диаметърът е включен в следните области и обеми:

-Област на кръга: π. (D / 2) ²

-област на сферичната повърхност: 4π. (D / 2) ²

-обем на сферата: (4/3) π. (D / 2) ³

-обем на десен кръгъл цилиндър: π. (D / 2) ².H (H е височината на цилиндъра)

Фигури с постоянна ширина

Кръгът е плоска фигура с постоянна ширина, тъй като където и да го погледнете, ширината е диаметър D. Въпреки това, има и други може би по-малко известни фигури, чиято ширина също е постоянна.

Първо, нека да видим какво се разбира под ширината на фигурата: това е разстоянието между две успоредни линии -подкрепящи линии-, които от своя страна са перпендикулярни на дадената посока и които затварят фигурата, както е показано на лявото изображение:

Фигура 3. Ширина на всяка плоска фигура (вляво) и триъгълник на Reuleaux, фигура с постоянна ширина (вдясно). Източник: Ф. Сапата.

Вдясно е триъгълникът Reuleaux, който е фигура с постоянна ширина и отговаря на условието, посочено в лявата фигура. Ако ширината на фигурата е D, нейният периметър се определя от теоремата на Барбиер:

L = π.D

Канализациите на град Сан Франциско в Калифорния са оформени като триъгълник Реле, наречен на немския инженер Франц Релео (1829 - 1905). По този начин капаците не могат да паднат през отвора и за производството им се използва по-малко материал, тъй като площта им е по-малка от тази на кръга:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Докато за кръг:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0.785. D ²

Но този триъгълник не е единствената фигура с постоянна ширина. Можете да изградите така наречените Reuleaux полигони с други многоъгълници, които имат нечетен брой страни.

Диаметър на обиколка

На следващата фигура са елементите на кръга, дефинирани както следва:

Акорд: линеен сегмент, който свързва две точки по обиколката. На фигурата е акордът, който свързва точки C и D, но могат да се наричат ​​безкрайни акорди, които се присъединяват към всяка двойка точки по обиколката.

Диаметър: това е акордът, който минава през центъра, свързвайки две точки от обиколката с центъра O. Това е най-дългият акорд на обиколка, поради което се нарича „основен акорд“.

Радиус: линеен сегмент, който се присъединява към центъра с която и да е точка от обиколката. Стойността му, подобно на диаметъра, е постоянна.

Окръжност: това е множеството на всички точки, на еднакво разстояние от O.

Дъга: тя се дефинира като сегмент на обиколката, обозначен с два радиуса (не е изчертан на фигурата).

Фигура 4. Части от обиколката, включително диаметъра, който минава през центъра. Източник: Wikimedia Commons.

- Пример 1

Показаният правоъгълник е висок 10 инча, който при навиване образува десен кръгъл цилиндър, чийто диаметър е 5 инча. Отговори на следните въпроси:

Фигура 5. Навит правоъгълник става десен кръгъл цилиндър. Източник: Jiménez, R. Математика II. Геометрия и тригонометрия. 2-ри. Edition. Пиърсън.

а) Какъв е контурът на тръбата?

б) Намерете площта на правоъгълника.

c) Намерете площта на напречното сечение на цилиндъра.

Решение за

Очертанието на тръбата е L = π.D = 5π в = 15,71 инча.

Решение b

Площта на правоъгълника е основа х височина, като основата L вече е изчислена, а височината е 10 инча според изявлението, следователно:

A = 15,71 в x 10 in = 157,1 в ².

Решение c

И накрая, заявената площ се изчислява така:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 инча) ² = 19.63 инча ².

- Пример 2

Изчислете засенчената площ на фигура 5а. Квадратът има страна L.

Фигура 6. Намерете засенчената зона в лявата фигура. Хименес, Р. Математика II. Геометрия и тригонометрия. 2-ри. Edition. Пиърсън.

Решение

На фигура 5b са направени два полукръга с еднакъв размер в розово и синьо, насложени върху оригиналната фигура. Между тях те правят пълен кръг. Ако намерите площта на квадрата и извадите площта на окръжността, правите засенчената област на фигура 5б. И като се погледне отблизо, се оказва, че това е половината от засенчената зона в 5а.

-Саква площ: L ²

-диаметър на полукръга: L

-област на окръжността: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-различие на площи = половината от засенчената зона =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded област = 2 х 0,2146 L ² = 0.4292L2

Колко диаметра има обиколка?

Можете да нарисувате безкрайни диаметри на кръг и всеки от тях измерва същото.

Препратки

1. Антонио. Триъгълници Reuleaux и други криви с постоянна ширина. Възстановено от: divulgators.com.
2. Балдор, А. 2002. Плоска и космическа геометрия и тригонометрия. Културна група Патрия.
3. Хименес, Р. Математика II. Геометрия и тригонометрия. 2-ри. Edition. Пиърсън.
4. Wikipedia. Триъгълник Релео. Възстановено от: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Диаметър. Възстановени от: mathworld.wolfram.com.