ТЕОРЕМА НА ЩАЙНЕР: ОБЯСНЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

В Steiner е теорема, известен също като Правило на Щайнер, за да се оцени инерционният момент на продължителен тяло, около ос, която е успоредна на друг, минаваща през центъра на масата на обекта.

Той е открит от швейцарския математик Якоб Щайнер (1796 - 1863 г.) и заявява следното: нека I _{CM е} моментът на инерцията на обекта по отношение на ос, минаваща през центъра му на маса CM, и аз _z инерционният момент по отношение на друга ос успоредно на това.

Фигура 1. Правоъгълната врата, въртяща се на пантите си, има инерционен момент, който може да бъде изчислен чрез прилагане на теоремата на Щайнер. Източник: Pixabay

Като знаем разстоянието D, което разделя двете оси и масата M на въпросното тяло, инерционният момент по отношение на непознатата ос е:

Инерционният момент показва колко лесно е един предмет да се върти около определена ос. Зависи не само от масата на тялото, но и от това как се разпределя. Поради тази причина тя е известна още като ротационна инерция, като нейни единици в Международната система Kg. м ².

Теоремата показва, че моментът на инерцията I _z е винаги по-голям от момента на инерцията I _СМ с количество, дадено от MD ².

Приложения

Тъй като един обект може да се върти около многобройни оси и обикновено в таблиците е даден само инерционният момент по отношение на оста, минаваща през центъра, теоремата на Щайнер улеснява изчисляването, когато е необходимо да се въртят тела по оси които не съответстват на това.

Например, една врата обикновено не се върти около ос през центъра на масата си, а около странична ос, при която шарнирите се прилепват.

Чрез познаване на инерционния момент е възможно да се изчисли кинетичната енергия, свързана с въртенето около споменатата ос. Ако K е кинетичната енергия, I моментът на инерцията около въпросната ос и ω ъгловата скорост, следва, че:

Това уравнение е много подобно на много познатата формула за кинетична енергия за обект с маса M, движещ се със скорост v: K = ½ Mv ². И е, че моментът на инерцията или въртящата се инерция I играе същата роля в въртенето като масата M в превода.

Доказателство за теоремата на Щайнер

Моментът на инерцията на разширен обект се дефинира като:

I = ∫ r ² dm

Където dm е безкрайно малка маса и r е разстоянието между dm и оста на въртене z. На фигура 2 тази ос пресича центъра на масата CM, но тя може да бъде всяка.

Фигура 2. Предмет, удължен в въртене около две успоредни оси. Източник: Ф. Сапата.

Около друга z 'ос моментът на инерцията е:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Сега според триъгълника, образуван от векторите D, r и r ' (виж фигура 2 вдясно), има векторна сума:

r + r ' = D → r' = D - r

Трите вектора лежат на равнината на обекта, която може да бъде xy. Произходът на координатната система (0,0) е избран в CM, за да се улесни изчисленията, които следват.

По този начин квадратният модул на вектора r ' е:

Сега това развитие е заместено в интеграла на инерционния момент I _z и също се използва дефиницията на плътност dm = ρ.dV:

Терминът M. D ^2, който се появява в теоремата на Щайнер, идва от първия интеграл, вторият е инерционният момент по отношение на оста, която преминава през CM.

От своя страна, третият и четвъртият интеграли са на стойност 0, тъй като по дефиниция те представляват позицията на СМ, ​​която е избрана за произход на координатната система (0,0).

Решени упражнения

-Решено упражнение 1

Правоъгълната врата на фигура 1 има маса 23 кг, широчина 1,30 и височина 2,10 м. Определете инерционния момент на вратата по отношение на оста, минаваща през пантите, като приемете, че вратата е тънка и равномерна.

Фигура 3. Схема за работещ пример 1. Източник: модифициран от Pixabay.

Решение

От таблица на инерционните моменти, за правоъгълна плоча с маса M и размери a и b, инерционният момент по отношение на оста, минаваща през центъра на масата е: I _CM = (1/12) M (a ² + б ²).

Предполага се хомогенна порта (приближение, тъй като портата на фигурата вероятно не е така). В такъв случай центърът на масата преминава през своя геометричен център. На фигура 3 е начертана ос, която преминава през центъра на масата и също е успоредна на оста, която минава през пантите.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ²) m ² = 11.7 Kg.m ²

Прилагане на теоремата на Щайнер за зелената ос на въртене:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Решено упражнение 2

Намерете инерционния момент на еднороден тънък прът, когато се върти около ос, която минава през единия му край, вижте фигурата. Дали е по-голям или по-малък от инерционния момент, когато се върти около центъра си? Защо?

Фигура 4. Схема за разрешения пример 2. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Според таблицата на инерционните моменти моментът на инерцията I _CM на тънка пръчка с маса M и дължина L е: I _CM = (1/12) ML ²

И теоремата на Щайнер заявява, че когато се завърти около ос, която минава през единия край D = L / 2, остава:

Той е по-голям, макар и не просто два пъти, но 4 пъти повече, тъй като другата половина на пръта (не е засенчена на фигурата) се върти, описвайки по-голям радиус.

Влиянието на разстоянието до оста на въртене не е линейно, а квадратично. Маса, която е два пъти по-голяма от разстоянието от друга, ще има инерционен момент, пропорционален на (2D) ² = 4D ².

Препратки

1. Bauer, W. 2011. Физика за инженерство и науки. Том 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Държавен университет в Джорджия. Ротационно движение. Възстановено от: phys.nthu.edu.tw.
3. Теорема за паралелна ос. Възстановени от: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Рекс, А. 2011. Основи на физиката. Пиърсън. 190-200.
5. Wikipedia. Теорема за паралелна ос. Възстановено от: en.wikipedia.org