КОЕФИЦИЕНТ НА КОРЕЛАЦИЯ: ФОРМУЛИ, ИЗЧИСЛЕНИЕ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ, ПРИМЕР - ДУДА - 2025

Коефициентът на корелация в статистиката е показател, който измерва тенденцията на две количествени променливи X и Y да имат линейна или пропорционална връзка между тях.

Като цяло двойките на променливи X и Y са две характеристики на една и съща съвкупност. Например, X може да бъде ръст на човек, а Y - тегло.

Фигура 1. Коефициент на корелация за четири двойки данни (X, Y). Източник: Ф. Сапата.

В този случай коефициентът на корелация би указвал дали има или не тенденция към пропорционална връзка между височина и тегло в дадена популация.

Коефициентът на линейна корелация на Пиърсън се обозначава с малката буква r, а минималните и максималните му стойности са съответно -1 и +1.

Стойност r = +1 означава, че множеството двойки (X, Y) са перфектно подравнени и че когато X расте, Y ще расте в същото съотношение. От друга страна, ако се случи, че r = -1, наборът от двойки също би бил перфектно подравнен, но в този случай, когато X се увеличава, Y намалява в същото съотношение.

Фигура 2. Различни стойности на коефициента на линейна корелация. Източник: Wikimedia Commons.

От друга страна, стойност r = 0 би посочила, че няма линейна корелация между променливите X и Y. Докато стойността на r = +0.8 означава, че двойките (X, Y) са склонни да се струпват от едната страна и друга от определена линия.

Формулата за изчисляване на коефициента на корелация r е следната:

Как да изчислим коефициента на корелация?

Коефициентът на линейна корелация е статистическо количество, което е вградено в научни калкулатори, повечето електронни таблици и статистически програми.

Удобно е обаче да знаете как се прилага формулата, която я определя, и за това ще бъде показано подробно изчисление, извършено върху малък набор от данни.

И както беше казано в предишния раздел, коефициентът на корелация е ковариацията Sxy, разделена на произведението на стандартното отклонение Sx за променливите X и Sy за променливата Y.

Ковариация и дисперсия

Ковариантният Sxy е:

Sxy = / (N-1)

Където сумата отива от 1 до N двойки данни (Xi, Yi). и са аритметичните средства на данните Xi и Yi съответно.

От своя страна стандартното отклонение за променливата X е квадратният корен на дисперсията на набора от данни Xi, с i от 1 до N:

Sx = √

По същия начин стандартното отклонение за променлива Y е квадратният корен на дисперсията на набора от данни Yi, с i от 1 до N:

Sy = √

Илюстративен случай

За да покажем подробно как да изчислим коефициента на корелация, ще вземем следния набор от четири двойки данни

(X, Y): {(1, 1); (2. 3); (3, 6) и (4, 7)}.

Първо изчисляваме средното аритметично за X и Y, както следва:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

Тогава се изчисляват останалите параметри:

Ковариация Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10,5 / 3 = 3,5

Стандартно отклонение Sx

Sx = √ = √ = 1,29

Стандартно отклонение Sy

Sx = √ =

√ = 2.75

Коефициент на корелация r

r = 3,5 / (1,29 * 2,75) = 0,98

Интерпретация

В набора от данни от предишния случай се наблюдава силна линейна корелация между променливи X и Y, която се проявява както в диаграмата на разсейване (показана на фигура 1), така и в коефициента на корелация, който даде а стойност доста близка до единство.

Доколкото коефициентът на корелация е по-близо до 1 или до -1, толкова по-разумно е да приспособите данните към линия, резултат от линейна регресия.

Линейна регресия

Линията на линейна регресия се получава от метода на най-малките квадрати. в който параметрите на регресионната линия са получени от минимизирането на сумата от квадрата на разликата между прогнозната стойност Y и Yi на N данните.

От друга страна, параметрите a и b на регресионната линия y = a + bx, получени по метода на най-малко квадратчета, са:

* b = Sxy / (Sx ²) за наклона

* a = - б за пресичане на регресионната линия с оста Y.

Спомнете си, че Sxy е ковариацията, дефинирана по-горе, а Sx ² е дисперсията или квадрата на стандартното отклонение, дефинирано по-горе. и са аритметичните средства на данните X и Y съответно.

пример

Коефициентът на корелация се използва за определяне дали има линейна корелация между две променливи. Приложимо е, когато променливите, които ще бъдат изследвани, са количествени и освен това се приема, че следват нормално разпределение на типа.

Имаме илюстративен пример по-долу: мярка за степента на затлъстяване е индексът на телесната маса, който се получава чрез разделяне на теглото на човек в килограми на височината на квадрата на човека в единици метри в квадрат.

Искате да знаете дали има силна зависимост между индекса на телесната маса и концентрацията на HDL холестерол в кръвта, измерена в милимоли на литър. За целта е проведено проучване с 533 души, което е обобщено в следващата графика, в която всяка точка представлява данните на едно лице.

Фигура 3. Изследване на ИТМ и HDL холестерол при 533 пациенти. Източник: Арагонски институт по здравни науки (IACS).

Внимателното наблюдение на графиката показва, че има определена линейна тенденция (не е много подчертана) между концентрацията на HDL холестерола и индекса на телесната маса. Количествената мярка на тази тенденция е коефициентът на корелация, който в този случай се оказа r = -0,276.

Препратки

1. González C. Обща статистика. Възстановено от: tarwi.lamolina.edu.pe
2. ИСАК. Арагонски институт по здравни науки. Възстановени от: ics-aragon.com
3. Salazar C. и Castillo S. Основни принципи на статистиката. (2018). Възстановено от: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Коефициент на корелация. Възстановени от: superprof.es
5. USAC. Наръчник за описателна статистика. (2011 г.). Възстановено от: statistics.ingenieria.usac.edu.gt
6. Wikipedia. Коефициентът на корелация на Пиърсън Възстановено от: es.wikipedia.com.