ЧАСТИЧНИ ПРОИЗВОДНИ: НОТАЦИЯ, ПРИМЕРИ И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На частните производни на функция на няколко променливи са тези, които определят скоростта на промяна на функцията, когато един от заместителите е с вариант безкрайно, а другите означения остават непроменени.

За да направим идеята по-конкретна, да предположим случая на функция от две променливи: z = f (x, y). Частичната производна на функцията f по отношение на променливата x се изчислява като обикновена производна по отношение на x, но приемайки променливата y, сякаш е постоянна.

Фигура 1. Функция f (x, y) и нейните частични производни ∂ _x f y ∂ _y f в точка P. (Изработена от Р. Перес с геогебра)

Частично обозначение на производни

Частичната производна операция на функцията f (x, y) върху променливата x се обозначава по един от следните начини:

В частичните производни се използва символът ∂ (вид закръглена буква d, наречена също джакоби d), за разлика от обикновената производна за функции на една променлива, в която буквата d се използва за производна.

Най-общо, частичната производна на многовариантна функция по отношение на една от нейните променливи води до нова функция в същите променливи на първоначалната функция:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Изчисляване и значение на частичната производна

За да определите скоростта на промяна или наклон на функцията за конкретна точка (x = a, y = b) в посока, успоредна на оста X:

1- Функцията ∂ _x f (x, y) = g (x, y) се изчислява, като се взема обикновената производна в променливата x и се оставя променливата y фиксирана или постоянна.

2- Тогава стойността на точката x = a и y = b е заместена, в която искаме да знаем скоростта на промяна на функцията в посока x:

{Наклон в посока x в точката (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- За да изчислите скоростта на промяна в посоката y в координатната точка (a, b), първо изчислете ∂ _и f (x, y) = h (x, y).

4- Тогава точката (x = a, y = b) се замества в предишния резултат, за да се получи:

{Наклон в посока y в точката (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Примери за частични производни

Някои примери за частични производни са, както следва:

Пример 1

Предвид функцията:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Намерете частичните производни на функцията f по отношение на променливата x и променливата y.

Решение:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Обърнете внимание, че за да се изчисли частичната производна на функцията f по отношение на променливата x, е извършена обикновената производна по отношение на x, но променливата y е взета така, сякаш е постоянна. По същия начин, при изчисляването на частичната производна на f по отношение на y, променливата x е взета така, сякаш е константа.

Функцията f (x, y) е повърхност, наречена параболоид, показана на фигура 1 в цвят охра.

Пример 2

Намерете скоростта на промяна (или наклон) на функцията f (x, y) от Пример 1 по посока на оста X и оста Y за точката (x = 1, y = 2).

Решение: За да намерите наклоните в посоките x и y в дадената точка, просто заместете стойностите на точката във функцията ∂ _x f (x, y) и във функцията ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _и f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Фигура 1 показва допирателната линия (в червен цвят) към кривата, определена от пресечната точка на функцията f (x, y) с равнината y = 2, наклонът на тази права е -2. Фигура 1 показва също допирателната линия (в зелено) към кривата, която определя пресечната точка на функцията f с равнината x = 1; Тази линия има наклон -4.

Упражнения

Упражнение 1

Конична чаша в даден момент съдържа вода, така че повърхността на водата има радиус r и дълбочина h. Но чашата има малък отвор на дъното, през който се губи вода със скорост C кубически сантиметра в секунда. Определете скоростта на спускане от водната повърхност в сантиметри в секунда.

Решение:

На първо място е необходимо да се помни, че обемът на водата в дадения момент е:

Обемът е функция на две променливи, радиус r и дълбочина h: V (r, h).

Когато обемът се промени с безкрайно минимално количество dV, радиусът на водната повърхност и дълбочината h на водата също се променят в съответствие със следното отношение:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Пристъпваме към изчисляване на частичните производни на V по отношение съответно на r и h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Освен това радиусът r и дълбочината h отговарят на следното отношение:

Разделянето на двата члена на диференциалното време dt дава:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Но dV / dt е обемът на загубената вода за единица време, за който се знае, че е C сантиметър в секунда, докато dh / dt е скоростта на спускане на свободната повърхност на водата, която ще се нарича v. Тоест, водната повърхност в дадения момент се спуска със скорост v (в cm / s), дадена от:

v = C / (π r ^ 2).

Като числово приложение, да предположим, че r = 3 cm, h = 4 cm, а скоростта на изтичане C е 3 cm ^ 3 / s. Тогава скоростта на спускане на повърхността в този момент е:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Упражнение 2

Теоремата на Клайро - Шварц заявява, че ако дадена функция е непрекъсната в своите независими променливи и нейните частични производни по отношение на независимите променливи също са непрекъснати, тогава смесените производни от втори ред могат да бъдат сменени. Проверете тази теорема за функцията

f (x, y) = x ^ 2 y, тоест трябва да е вярно, че f _xy f = ∂ _yx f.

Решение:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), докато ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Доказано е, че теоремата на Шварц е вярна, тъй като функцията f и нейните частични производни са непрекъснати за всички реални числа.

Препратки

1. Франк Айрес, Дж. И Менделсън, Е. (2000). Изчисление 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Изчислението с аналитична геометрия. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисление. Мексико: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Диференциално смятане. Хипотенуза.
5. Saenz, J. (2006). Интегрално смятане. Хипотенуза.
6. Wikipedia. Частично производно. Възстановено от: es.wikipedia.com