ЕВКЛИДОВО РАЗСТОЯНИЕ: КОНЦЕПЦИЯ, ФОРМУЛА, ИЗЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕР - МАТЕМАТИКА - 2025

В Евклидово разстояние е положително число, което показва разстоянието между две точки в пространството, където са изпълнени аксиоми и теореми на Евклидовата геометрия.

Разстоянието между две точки A и B в евклидово пространство е дължината на вектора AB, принадлежащ на единствената права, която минава през тези точки.

Фигура 1. Едномерно евклидово пространство, образувано от линията (OX). На посоченото пространство са показани няколко точки, техните координати и разстояния. (Подготвил Рикардо Перес).

Пространството, което хората възприемат и където се движим, е триизмерно (3-D) пространство, където са изпълнени аксиомите и теоремите на геометрията на Евклид. Двумерни подпространства (равнини) и едномерни подпространства (линии) се съдържат в това пространство.

Евклидовите пространства могат да бъдат едномерни (1-D), двумерни (2-D), триизмерни (3-D) или n-измерни (nD).

Точките в едномерното пространство X са тези, които принадлежат към ориентираната линия (OX), посоката от O към X е положителната посока. За локализиране на точките на тази линия се използва декартовата система, която се състои в присвояване на число на всяка точка от линията.

формула

Евклидовото разстояние d (A, B) между точките A и B, разположени по права линия, се определя като корен от квадрат на разликите в техните X координати:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Това определение гарантира, че: разстоянието между две точки винаги е положително количество. И че разстоянието между A и B е равно на разстоянието между B и A.

Фигура 1 показва едномерното евклидово пространство, образувано от линията (OX) и няколко точки на споменатата линия. Всяка точка има координата:

Точка А има координата XA = 2.5, точка B координата XB = 4, а точка C координата XC = -2.5

d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Евклидово разстояние в две измерения

Двуизмерното евклидово пространство е равнина. Точките на евклидова равнина изпълняват аксиомите на евклидовата геометрия, например:

- Една линия минава през две точки.

- Три точки на равнината образуват триъгълник, чиито вътрешни ъгли винаги се състоят до 180º.

- В десен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката му.

В две измерения една точка има X и Y координати.

Например точка P има координати (XP, YP) ​​и точка Q координати (XQ, YQ).

Евклидовото разстояние между точка P и Q се определя със следната формула:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Трябва да се отбележи, че тази формула е еквивалентна на теоремата на Питагор, както е показано на фигура 2.

Фигура 2. Разстоянието между две точки P и Q в равнината отговаря на питагорейската теорема. (Подготвил Рикардо Перес).

Неевклидови повърхности

Не всички двумерни пространства съответстват на евклидовата геометрия. Повърхността на една сфера е двуизмерно пространство.

Ъглите на триъгълник върху сферична повърхност не се добавят до 180º и с това питагорейската теорема не е изпълнена, следователно сферична повърхност не изпълнява аксиомите на Евклид.

Евклидово разстояние в n измерения

Концепцията за координатите може да бъде разширена до по-големи размери:

- В 2-D точка P има координати (XP, YP)

- В 3-D точка Q има координати (XQ, YQ, ZQ)

- В 4-D точката R ще има координати (XR, YR, ZR, WR)

- В nD точка P ще има координати (P1, P2, P3,….., Pn)

Разстоянието между две точки P и Q на n-мерно евклидово пространство се изчислява със следната формула:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 +…….. + (Qn - Pn) ^ 2)

Локусът на всички точки Q в n-мерно евклидово пространство, на еднакво разстояние от друга фиксирана точка P (в центъра), образува n-измерена хиперсфера.

Как се изчислява евклидово разстояние

Следното показва как се изчислява разстоянието между две точки, разположени в евклидовото триизмерно пространство.

Да предположим, че точка A от декартови координати x, y, z е дадена от A:(2, 3, 1) и точка B от координати B:(-3, 2, 2).

Искаме да определим разстоянието между тези точки, за което се използва общата връзка:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196

пример

Има две точки P и Q. Точката P на декартови координати x, y, z, дадена от P:(2, 3, 1) и точката Q на координатите Q:(-3, 2, 1).

Той се изисква да намери координатите на средната точка M на сегмента, свързващ двете точки.

Неизвестната точка M се приема, че има координати (X, Y, Z).

Тъй като M е средната точка на, трябва да е вярно, че d (P, M) = d (Q, M), така d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 също трябва да е вярно:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Както в случая, третият термин е равен и на двамата членове, предишният израз опростява до:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

След това имаме уравнение с две неизвестни X и Y. За разрешаване на проблема е необходимо друго уравнение.

Точка M принадлежи към линията, която преминава през точки P и Q, която можем да изчислим, както следва:

Първо намираме директорния вектор PQ на реда: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Тогава PM = OP + a PQ, където OP е векторът на позицията на точката P и е параметър, който принадлежи на реалните числа.

Горното уравнение е известно като векторно уравнение на линията, която в декартови координати приема следната форма:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Приравняване на съответните компоненти имаме:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Тоест X = 4 - 5a, Y = 6 - a, накрая Z = 1.

Той е заместен в квадратичния израз, който се отнася до X до Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Той е опростен:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Сега се разгръща:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Тя е опростена, като се отменя като термини и двамата членове:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Параметърът a се изчиства:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, което води до a = 1.

Тоест X = 4 - 5, Y = 6 - 1, накрая Z = 1.

Накрая получаваме декартови координати на средната точка M на сегмента:

М: (-1, 5, 1).

Препратки

1. Lehmann C. (1972) Аналитична геометрия. UTEHA.
2. Superprof. Разстояние между две точки. Възстановени от: superprof.es
3. Пумас. Разстояние между аффинните подлинейни колектори. Възстановено от: prometeo.matem.unam.mx/
4. Уикипедия. Евклидово разстояние. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Уикипедия. Евклидово пространство. Възстановено от: es.wikipedia.com