ДИСКРЕТНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В отделни вероятностни разпределения са функция, която определя всеки елемент на х (S) = {x1, x2,…, XI,…}, където X е дискретна случайна променлива даден и S е пространство на пробата, вероятността споменатото събитие се случва. Тази функция f от X (S), дефинирана като f (xi) = P (X = xi), понякога се нарича функция на вероятностната маса.

Тази маса от вероятности обикновено е представена в таблична форма. Тъй като X е дискретна случайна променлива, X (S) има ограничен брой събития или счетлива безкрайност. Сред най-често срещаните дискретни разпределения на вероятностите имаме равномерно разпределение, биномиално разпределение и разпределение на Поасон.

характеристики

Функцията за разпределение на вероятността трябва да отговаря на следните условия:

Освен това, ако X приема само краен брой стойности (например x1, x2,…, xn), тогава p (xi) = 0, ако i> ny, следователно безкрайният ред от условие b става a крайна серия.

Тази функция изпълнява и следните свойства:

Нека B е събитие, свързано със случайната променлива X. Това означава, че B се съдържа в X (S). По-конкретно, да предположим, че B = {xi1, xi2,…}. По този начин:

С други думи, вероятността от събитие B е равна на сумата от вероятностите на отделните резултати, свързани с B.

От това можем да заключим, че ако a <b, събитията (X ≤ a) и (a <X ≤ b) са взаимно изключващи се и освен това тяхното обединение е събитието (X ≤ b), така че имаме:

Видове

Равномерно разпределение на n точки

Казва се, че случайна променлива X следва разпределение, характеризиращо се с това, че е равномерно в n точки, ако на всяка стойност е зададена еднаква вероятност. Нейната вероятностна функция е:

Да предположим, че имаме експеримент, който има два възможни резултата, може да бъде хвърлянето на монета, чиито възможни резултати са глави или опашки, или изборът на цяло число, чийто резултат може да бъде четно число или нечетен; този тип експерименти са известни като тестове на Бернули.

Като цяло двата възможни резултата се наричат ​​успех и провал, където p е вероятността за успех и 1-p е вероятността за неуспех. Можем да определим вероятността от x успехи в n тестове на Бернули, които са независими един от друг със следното разпределение.

Биномиално разпределение

Функцията представлява вероятността за получаване на x успехи в n независими тестове на Бернули, чиято вероятност за успех е p. Нейната вероятностна функция е:

Следващата графика представлява функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на биномното разпределение.

Следващото разпределение дължи името си на френския математик Симеон Поасон (1781-1840), който го е получил като граница на биномното разпределение.

Разпределение на Poisson

За случайна променлива X се казва, че има разпределение на Poisson на параметър λ, когато може да приеме положителните цели числа 0,1,2,3,… със следната вероятност:

В този израз λ е средният брой, съответстващ на събитията от събитието за всяка единица време, а x е броят пъти, когато събитието се случи.

Нейната вероятностна функция е:

Ето една графика, която представя функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на разпределението на Пуассон.

Обърнете внимание, че докато броят на успехите е малък и броят на тестовете, извършени на биномиално разпределение, е висок, ние винаги можем да приблизим тези разпределения, тъй като разпределението на Поасон е границата на биномиалното разпределение.

Основната разлика между тези две разпределения е, че докато биномиалният зависи от два параметъра, а именно n и p, Poisson зависи само от λ, което понякога се нарича интензитет на разпределението.

Досега говорихме само за разпределения на вероятностите за случаи, при които различните експерименти са независими един от друг; тоест, когато резултатът от един не се влияе от някакъв друг резултат.

Когато се случи случаят с провеждането на експерименти, които не са независими, хипергеометричното разпределение е много полезно.

Хипергеометрично разпределение

Нека N е общият брой обекти от ограничен набор, от които можем да идентифицираме k по някакъв начин, като по този начин образуваме подмножество K, чието допълнение се формира от останалите Nk елементи.

Ако избираме произволно n обекти, случайната променлива X, която представлява броя на обектите, принадлежащи на K в споменатия избор, има хипергеометрично разпределение на параметрите N, n и k. Нейната вероятностна функция е:

Следващата графика представлява функцията на вероятностната маса за различни стойности на параметрите на хипергеометричното разпределение.

Решени упражнения

Първо упражнение

Да предположим, че вероятността радиоканал (поставен в определен тип оборудване) да работи повече от 500 часа е 0,2. Ако се тестват 20 тръби, каква е вероятността точно k от тях да работи повече от 500 часа, k = 0, 1,2,…, 20?

Решение

Ако X е броят на тръбите, които работят повече от 500 часа, ще приемем, че X има биномиално разпределение. Така

И така:

За k≥11 вероятностите са по-малко от 0,001

По този начин можем да видим как вероятността k от тези работи за повече от 500 часа нараства, докато достигне максималната си стойност (с k = 4) и след това започне да намалява.

Второ упражнение

Монета се хвърля 6 пъти. Когато резултатът е скъп, ще кажем, че е успех. Каква е вероятността две глави да излязат точно?

Решение

За този случай имаме, че n = 6 и двете вероятности за успех и неуспех са p = q = 1/2

Следователно вероятността да се дадат две глави (тоест k = 2) е

Трето упражнение

Каква е вероятността да намерите поне четири глави?

Решение

За този случай имаме, че k = 4, 5 или 6

Трето упражнение

Да предположим, че 2% от артикулите, произведени във фабрика, са дефектни. Намерете вероятността P, че има три дефектни артикула в извадка от 100 предмета.

Решение

За този случай бихме могли да приложим биномното разпределение за n = 100 и p = 0.02, като в резултат получихме:

Въпреки това, тъй като p е малък, използваме приближението на Поасон с λ = np = 2. Така,

Препратки

1. Кай Лай Чунг. Елементарна теория за вероятността със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Росен. Дискретна математика и нейните приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Майер. Вероятност и статистически приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Д-р Seymour Lipschutz 2000 решени задачи от дискретна математика. McGraw-Hill.
5. Д-р Seymour Lipschutz Проблеми с теорията и вероятностите. McGraw-Hill.