ENEAGON: СВОЙСТВА, КАК ДА НАПРАВИТЕ ЕНЕГОН, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА

Един enegon е многоъгълник с девет страни и девет върхове, които могат или не могат да бъдат редовно. Името eneágono идва от гръцкото и се състои от гръцките думи ennea (девет) и gonon (ъгъл).

Алтернативно име на деветстранния многоъгълник е нонагон, който идва от латинското nonus (девет) и gonon (връх). От друга страна, ако страните или ъглите на енеагона са неравномерни една спрямо друга, тогава имате неправилен енеагон. Ако, от друга страна, всичките девет страни и девет ъгъла на енеагона са равни, тогава това е обикновен енеагон.

Фигура 1. Редовен енеагон и неправилен енеагон. (Собствена разработка)

Свойства на енеагона

За многоъгълник с n страни сумата на неговите вътрешни ъгли е:

(n - 2) * 180º

В enegon би било n = 9, така че сумата от вътрешните ъгли е:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Във всеки многоъгълник броят на диагоналите е:

D = n (n - 3) / 2 и в случая на енегона, тъй като n = 9, тогава имаме D = 27.

Редовен енегон

В обикновения енегон или нонагон има девет (9) вътрешни ъгъла с еднаква мярка, следователно всеки ъгъл измерва една девета от общата сума на вътрешните ъгли.

След това мярката на вътрешните ъгли на енегон е 1260º / 9 = 140º.

Фигура 2. Апотема, радиус, страни, ъгли и върхове на обикновен енегон. (Собствена разработка)

За да се изведе формулата за площта на обикновен енегон със страна d, е удобно да се направят някои спомагателни конструкции, като тези, показани на фигура 2.

Центърът O се намира чрез проследяване на бисектрисите на две съседни страни. Центърът О на еднакво разстояние от върховете.

Радиус с дължина r е отсечката от центъра O до върха на енегона. Фигура 2 показва радиусите OD и OE на дължина r.

Апотема е сегментът, който отива от центъра до средната точка на едната страна на енегона. Например OJ е апотема, чиято дължина е a.

Зона на енгегон, известна отстрани и апотема

Ние разглеждаме триъгълника ODE на фигура 2. Площта на този триъгълник е произведението на неговата основа DE и височината OJ разделена на 2:

ODE площ = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Тъй като в енегона има 9 триъгълника с равна площ, се заключава, че площта на същия е:

Enegon area = (9/2) (d * a)

Зона на известен енегон отстрани

Ако е известна само дължината d от страните на енегона, тогава е необходимо да се намери дължината на апотема, за да се приложи формулата в предишния раздел.

Ние считаме правилния триъгълник OJE в J (виж фигура 2). Ако се приложи допирателното тригонометрично съотношение, получаваме:

тен (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Ъгълът ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, тъй като EO е бисектриса на вътрешния ъгъл на енегона.

От друга страна, OJ е апотема на дължина a.

Тогава, тъй като J е средната точка на ED, следва, че EJ = d / 2.

Заместването на предишните стойности в допирателната връзка имаме:

тен (70º) = a / (d / 2).

Сега изчистваме дължината на апотема:

a = (d / 2) тен (70º).

Предишният резултат се замества във формулата на зоната, за да се получи:

Площ на енгона = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) тен (70º))

И накрая, намираме формулата, която позволява получаването на площта на правилния енегон, ако е известна само дължината d от страните му:

Площ на енегона = (9/4) d ² тен (70º) = 6,1818 d ²

Периметърът на обикновен енегон познава своята страна

Периметърът на многоъгълник е сумата от неговите страни. В случая на енегона, тъй като всяка от страните измерва дължина d, периметърът му ще бъде сумата от девет пъти d, тоест:

Периметър = 9 d

Периметърът на енегона познава своя радиус

Имайки предвид правилния триъгълник OJE в J (виж фигура 2), се прилага тригонометричното косинусно съотношение:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Откъде се получава от:

d = 2r cos (70º)

Замествайки този резултат, получаваме формулата за периметъра като функция от радиуса на енегона:

Периметър = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Как да си направим редовен енегон

1- За да изградите обикновен енеагон, с владетел и компас, започнете от обиколката с, която обгражда енегона. (виж фигура 3)

2- Две перпендикулярни линии се изчертават през центъра O на обиколката. Тогава пресечните точки А и В на една от линиите се маркират с обиколката.

3- С компаса, центриращ в прехващача В и отвора, равен на радиуса BO, се начертава дъга, която пресича оригиналната обиколка в точка C.

Фигура 3. Стъпки за изграждане на обикновен енгон. (Собствена разработка)

4- Предишната стъпка се повтаря, но като се направи център на A и радиус AO, се извежда дъга, която пресича обиколката c в точка E.

5- С отваряне на AC и център в A се очертава дъга на обиколката. Подобно с отварянето BE и центъра B се очертава друга дъга. Пресечната точка на тези две дъги е маркирана като точка G.

6- Правейки центъра при G и отваряйки GA, се очертава дъга, която пресича вторичната ос (в този случай хоризонтална) в точка H. Пресичането на вторичната ос с първоначалната обиколка с се отбелязва като I.

7- Дължината на сегмента IH е равна на дължината d от страната на енегона.

8- С отваряне на компаса IH = d, дъгите на център A радиус AJ, център J радиус AK, център K радиус KL и център L радиус LP се изтеглят последователно.

9- По същия начин, като се започне от А и от дясната страна, се изчертават дъги с радиус IH = d, които маркират точки M, N, C и Q върху оригиналната обиколка c.

10- Накрая се изтеглят сегментите AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ и накрая PB.

Трябва да се отбележи, че методът на изграждане не е напълно точен, тъй като може да се провери, че последната страна PB е с 0,7% по-дълга от другите страни. Към днешна дата не е известен метод на изграждане с владетел и компас, който е 100% точен.

Примери

Ето някои разработени примери.

Пример 1

Искаме да изградим обикновен енегон, чиито страни измерват 2 cm. Какъв радиус трябва да има обиколката, която го обгражда, така че чрез прилагане на описаната по-рано конструкция се получава желаният резултат?

В предишен раздел беше изведена формулата, която свързва радиуса r на описания кръг със страната d на обикновен енегон:

d = 2r cos (70º)

Решаване за r от предишния израз имаме:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,44619 * d

Заместването на стойността d = 2 cm в предишната формула дава радиус r 2,92 cm.

Пример 2

Каква е площта на обикновен енегон със страна 2 см?

За да отговорим на този въпрос, трябва да се обърнем към формулата, показана по-рано, която ни позволява да намерим областта на известен енегон по дължината d от неговата страна: