ЧАСТИЧНИ ФРАКЦИИ: СЛУЧАИ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На частични фракции са фракции, образувани от полиноми, в които знаменател може да бъде линейна или квадратичен полином и също може да бъде повишена до мощност. Понякога, когато имаме рационални функции, е много полезно да пренапишем тази функция като сума от частични дроби или прости фракции.

Това е така, защото по този начин можем да манипулираме тези функции по-добре, особено в случаите, когато е необходимо да се интегрира посоченото приложение. Рационалната функция е просто коефициентът между два полинома и те могат да бъдат правилни или неправилни.

Ако степента на полинома на числителя е по-малка от знаменателя, това се нарича рационална правилна функция; в противен случай тя е известна като неправилна рационална функция.

дефиниция

Когато имаме неправилна рационална функция, можем да разделим полинома на числителя на полинома на знаменателя и по този начин да пренапишем фракцията p (x) / q (x), следвайки алгоритъма на разделянето като t (x) + s (x) / q (x), където t (x) е полином и s (x) / q (x) е правилна рационална функция.

Частична фракция е всяка правилна функция на полиноми, чийто знаменател има формата (ax + b) ⁿ или (ax ² + bx + c) ⁿ, ако полиномиалната ос ² + bx + c няма реални корени и n е число естествено.

За да се пренапише рационална функция в частични дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разделим знаменателя q (x) като произведение на линейни и / или квадратични фактори. След като това се направи, се определят частичните фракции, които зависят от естеството на тези фактори.

случаи

Ние разглеждаме няколко случая отделно.

Случай 1

Коефициентите на q (x) са линейни и нито един не се повтаря. Това означава:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Няма линеен фактор, който е идентичен с друг. Когато се случи този случай, ще напишем:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _s).

Където A ₁, A ₂,…, A _s са константите, които трябва да се намерят.

пример

Искаме да разложим рационалната функция на прости фракции:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Пристъпваме към определяне на знаменателя, а именно:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Тогава:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Прилагайки най-малко общи кратни, може да се получи, че:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Искаме да получим стойностите на константи A, B и C, които можем да намерим чрез заместване на корените, които отменят всеки от термините. Замествайки 0 за x имаме:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

A = - 1/2.

Заместване - 1 за х имаме:

- 1 - 1 = А (- 1 + 1) (- 1 + 2) + В (- 1 + 2) (- 1) + С (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Заместване - 2 за х имаме:

- 2 - 1 = А (- 2 + 1) (- 2 + 2) + В (- 2 + 2) (- 2) + С (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2С

С = –3/2.

По този начин се получават стойностите A = –1/2, B = 2 и C = –3/2.

Има друг метод за получаване на стойностите на A, B и C. Ако от дясната страна на уравнението x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x комбинираме термини, имаме:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Тъй като това е равенство на полиноми, имаме, че коефициентите от лявата страна трябва да са равни на тези от дясната страна. Това води до следната система от уравнения:

A + B + C = 0

3А + 2В + С = 1

2A = - 1

Решавайки тази система от уравнения, получаваме резултатите A = –1/2, B = 2 и C = -3/2.

Накрая, замествайки получените стойности, ние имаме, че:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Случай 2

Коефициентите на q (x) са линейни, а някои се повтарят. Да предположим, че (ax + b) е фактор, който повтаря "s" времена; след това към този фактор съответстват сумата от «s» частични дроби.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Където A _s, A _s-1,…, A ₁ са константите, които трябва да бъдат определени. Със следния пример ще покажем как да определим тези константи.

пример

Разлага се на частични фракции:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Ние пишем рационалната функция като сума от частични дроби, както следва:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

Тогава:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Замествайки 2 за x, имаме това:

7 = 4С, тоест С = 7/4.

Замествайки 0 за x имаме:

- 1 = –8A или A = 1/8.

Замествайки тези стойности в предишното уравнение и развивайки, имаме:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Приравнявайки коефициентите, получаваме следната система от уравнения:

B + E = 0;

1 / 8-6В + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Решавайки системата, ние имаме:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

За това трябва да:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Случай 3

Факторите на q (x) са линейни квадратични, без повтарящи се квадратични фактори. В този случай квадратичният коефициент (ax ² + bx + c) ще съответства на частичната фракция (Ax + B) / (ax ² + bx + c), където константи A и B са тези, които трябва да бъдат определени.

Следващият пример показва как да се процедира в този случай

пример

Разложи се на прости фракции a (x + 1) / (x ³ - 1).

Първо пристъпваме към коефициента на знаменателя, което ни дава резултат:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Можем да наблюдаваме, че (x ² + x + 1) е неприводим квадратичен полином; тоест той няма истински корени. Разлагането му на частични фракции ще бъде следното:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

От това получаваме следното уравнение:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Използвайки равенство на полиноми, получаваме следната система:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

А-С = 1;

От тази система имаме, че A = 2/3, B = - 2/3 и C = 1/3. Заменяйки, ние имаме това:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Случай 4

И накрая, случай 4 е този, при който факторите на q (x) са линейни и квадратични, където някои от линейните квадратични фактори се повтарят.

В този случай, ако (ax ² + bx + c) е квадратичен коефициент, който повтаря "s" пъти, тогава частичната част, съответстваща на коефициента (ос ² + bx + c), ще бъде:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (ос ² + bx + c) ^s

Където A _s, A _s-1,…, A и B _s, B _s-1,…, B са константите, които трябва да бъдат определени.

пример

Искаме да разложим следната рационална функция на частични дроби:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Тъй като x ² - 4x + 5 е неприводим квадратичен коефициент, имаме, че разпадането му на частични дроби се дава от:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x +) 5) ²

Опростявайки и развивайки, ние имаме:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

От горното имаме следната система от уравнения:

A + B = 0;

- 8А - 4В + С = 0;

26А + 5В - 4С + D = 0;

- 40А + 5С + Е = 1;

25А = 2.

Когато решаваме системата, ни остава:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 и E = - 3/5.

Заменяйки получените стойности, имаме:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4х + 5) ²

Приложения

Интегрално смятане

Частичните фракции се използват предимно за изследване на интегрално смятане. Ето няколко примера за това как да се изпълнят интеграли, като се използват частични фракции.

Пример 1

Искаме да изчислим интеграла на:

Можем да видим, че знаменателят q (x) = (t + 2) ² (t + 1) е съставен от линейни фактори, където един от тях се повтаря; Ето защо сме в случай 2.

Ние трябва да:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Пренаписваме уравнението и имаме:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Ако t = - 1, имаме:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = С

Ако t = - 2, тя ни дава:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Тогава, ако t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Подмяна на стойностите на A и C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2В

2B = - 2

От горното имаме, че B = - 1.

Ние пренаписваме интеграла като:

Пристъпваме към решаването му чрез метода на заместване:

Това е резултатът:

Пример 2

Решете следния интеграл:

В този случай можем да изчислим aq (x) = x ² - 4 като q (x) = (x - 2) (x + 2). Ясно сме в случай 1. Следователно:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Може да се изрази и като:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ако x = - 2, имаме:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

И ако x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

По този начин, ние оставаме да разрешим дадения интеграл е еквивалентно на решаването:

Това ни дава като резултат:

Пример 3

Решете интеграла:

Имаме q (x) = 9x ⁴ + x ², които можем да разделим на q (x) = x ² (9x ² + 1).

Този път имаме повтарящ се линеен фактор и квадратичен фактор; тоест ние сме в случай 3.

Ние трябва да:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Групиране и използване на равни полиноми имаме:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

От тази система от уравнения имаме:

D = - 9 и С = 0

По този начин ние имаме:

Решавайки горното, ние имаме:

Закон за масово действие

Интересно приложение на частичните фракции, приложени към интегралното смятане, се намира в химията, по-точно в закона за масовото действие.

Да предположим, че имаме две вещества, А и В, които се съединяват и образуват вещество С, така че производната на количеството С по отношение на времето е пропорционална на произведението на количествата А и В във всеки даден момент.

Можем да изразим закона за масовите действия по следния начин:

В този израз α е първоначалният брой грамове, съответстващ на A и β, първоначалният брой грамове, съответстващ на В.

Освен това, r и s представляват съответно броя на грамовете A и B, които се комбинират, образувайки r + s грамове C. От своя страна x представлява броя на грамовете вещество C в момент t, а K е константа на пропорционалност. Горното уравнение може да бъде преписано като:

Извършване на следната промяна:

Ние имаме, че уравнението става:

От този израз можем да получим:

Където ако ≠ b, частични дроби могат да бъдат използвани за интеграция.

пример

Да вземем за пример вещество С, което възниква от комбиниране на вещество А с В по такъв начин, че законът за масата да бъде изпълнен, когато стойностите на a и b са съответно 8 и 6. Дайте уравнение, което ни дава стойността на грамове С като функция на времето.

Замествайки стойностите в дадения закон за масите, имаме:

При разделяне на променливи имаме:

Тук 1 / (8 - x) (6 - x) може да се запише като сбор от частични дроби, както следва:

Така 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ако заменим 6 с х, имаме B = 1/2; и замествайки 8 за x, имаме A = - 1/2.

Интегриране чрез частични дроби имаме:

Това ни дава като резултат:

Диференциални уравнения: логистично уравнение

Друго приложение, което може да се даде на частични дроби, е в логическото диференциално уравнение. В простите модели имаме, че темпът на растеж на населението е пропорционален на неговия размер; тоест:

Този случай е идеален и се счита за реалистичен, докато не се окаже, че наличните ресурси в една система са недостатъчни за подкрепа на населението.

В тези ситуации най-разумното е да се мисли, че има максимален капацитет, който ще наречем L, че системата може да поддържа и че темпът на растеж е пропорционален на размера на населението, умножен по наличния размер. Този аргумент води до следното диференциално уравнение:

Този израз се нарича логистично диференциално уравнение. Това е разделимо диференциално уравнение, което може да бъде решено с метода за интегриране на частичната фракция.

пример

Пример е да се разгледа популация, която нараства според следното логистично диференциално уравнение y '= 0,0004y (1000 - y), чиито първоначални данни са 400. Искаме да знаем размера на популацията във време t = 2, където t се измерва след години.

Ако напишем y 'с нотация на Лайбниц като функция, която зависи от t, имаме:

Интегралът от лявата страна може да бъде решен с помощта на метода за интегриране на частичната фракция:

Можем да пренапишем това последно равенство, както следва:

- Замествайки y = 0, имаме, че A е равно на 1/1000.

- Замествайки y = 1000, ние имаме, че B е равно на 1/1000.

При тези стойности интегралът е следният:

Решението е:

Използване на първоначалните данни:

Когато изчистваме и имаме:

Тогава имаме това при t = 2:

В заключение, след 2 години числеността на населението е приблизително 597.37.

Препратки

1. A, RA (2012). Математика 1. Universidad de los Andes. Съвет за публикации.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Решени интеграли. Национален експериментален университет в Тачира.
3. Leithold, L. (1992). Изчислението с аналитична геометрия. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисление. Мексико: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Интегрално смятане. Хипотенуза.