- Какви са размерите?
- Триизмерно пространство
- Четвъртото измерение и време
- Координатите на хиперкуба
- Разгъване на хиперкуба
- Препратки
А хиперкуб е куб на измерение п. Конкретният случай на четириизмерния хиперкуб се нарича тесеракт. Хиперкуб или n-куб се състои от прави сегменти, всички с еднаква дължина, които са ортогонални в върховете си.
Човешките същества възприемат триизмерното пространство: ширина, височина и дълбочина, но не е възможно да визуализираме хиперкуб с размер, по-голям от 3.
Фигура 1. 0-куб е точка, ако тази точка се простира в посока на разстояние a образува 1-куб, ако тази 1-куба удължава разстояние a в ортогоналната посока имаме 2-куб (от страни x до a), ако 2-кубът удължи разстояние a в ортогонална посока имаме 3-куб. Източник: Ф. Сапата.
Най-много можем да направим проекции на него в триизмерно пространство, за да го представим, по подобен начин на това как проектираме куб върху равнина, за да го представим.
В измерение 0 единствената цифра е точката, така че 0-куб е точка. 1-куб е прав сегмент, който се образува чрез преместване на точка в една посока на разстояние a.
От своя страна, 2-кубче е квадрат. Той се конструира чрез изместване на 1-куба (отсечката с дължина a) в посока y, която е ортогонална към посоката x, на разстояние a.
3-кубчето е общото кубче. Той е изграден от квадрата, като го премества в третата посока (z), която е ортогонална на посоките x и y, разстояние a.
Фигура 2. 4-куб (тесеракт) е разширението на 3-куб в ортогонална посока към трите конвенционални пространствени направления. Източник: Ф. Сапата.
4-кубът е тесерактът, който е изграден от 3-куб, движещ го ортогонално, разстояние a, към четвърто измерение (или четвърта посока), което не можем да възприемем.
Тесерактът има всичките си прави ъгли, има 16 върха, а всичките му ръбове (общо 18) имат еднаква дължина a.
Ако дължината на краищата на n-куб или хиперкуба с размер n е 1, тогава това е единична хиперкуба, в която най-дългият диагонал се измерва √n.
Фигура 3. n-кубче се получава от (n-1) -куба, разширяваща го ортогонално в следващото измерение. Източник: wikimedia commons.
Какви са размерите?
Размерите са степените на свобода или възможните посоки, в които даден обект може да се движи.
В измерение 0 няма възможност за превод и единственият възможен геометричен обект е точката.
Размер в евклидовото пространство е представен от ориентирана линия или ос, която определя тази величина, наречена ос X. Разделението между две точки А и В е евклидовото разстояние:
d = √.
В две измерения пространството е представено от две линии, ориентирани ортогонално една към друга, наречени ос X и ос Y.
Позицията на всяка точка в това двуизмерно пространство се определя от нейната двойка декартови координати (x, y) и разстоянието между всяка две точки А и В ще бъде:
d = √
Защото това е пространство, в което е изпълнена геометрията на Евклид.
Триизмерно пространство
Триизмерното пространство е пространството, в което се движим. Той има три направления: ширина, височина и дълбочина.
В празна стая перпендикулярните ъгли дават тези три направления и към всеки от тях можем да свържем ос: X, Y, Z.
Това пространство също е евклидово и разстоянието между две точки А и В се изчислява, както следва:
d = √
Човешките същества не могат да възприемат повече от три пространствени (или евклидови) измерения.
От строго математическа гледна точка обаче е възможно да се дефинира n-измерено евклидово пространство.
В това пространство една точка има координати: (x1, x2, x3,….., xn), а разстоянието между две точки е:
d = √.
Четвъртото измерение и време
Всъщност в теорията на относителността времето се разглежда като още едно измерение и с него се свързва координата.
Но трябва да се изясни, че тази координата, свързана с времето, е въображаемо число. Следователно разделянето на две точки или събития в пространството-времето не е евклидово, а по-скоро следва показателя на Лоренц.
Четириизмерен хиперкуб (тесеракт) не живее в пространство-време, той принадлежи към четириизмерно евклидово хиперпространство.
Фигура 4. 3D проекция на четириизмерен хиперкуб в просто въртене около равнина, която разделя фигурата отпред на ляво, отзад надясно и отгоре надолу. Източник: Wikimedia Commons.
Координатите на хиперкуба
Координатите на върховете на n-куб, центрирани в началото, се получават, като се правят всички възможни престановки на следния израз:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Където а е дължината на ръба.
-В обем на п-куб на ръб е: (а / 2) п (2 N) = а п.
-Най -дългият диагонал е разстоянието между противоположни върхове.
-Следните са противоположни върхове в квадрат: (-1, -1) и (+1, +1).
-И в куб: (-1, -1, -1) и (+1, +1, +1).
-Дългият диагонал на n-куба измерва:
d = √ = √ = 2√n
В този случай страната се прие като a = 2. За n-куб отстрани на всеки той ще бъде:
d = a√n.
-Tesseract има всеки от своите 16 върха, свързани с четири ръба. Следващата фигура показва как върховете са свързани в тесеракт.
Фигура 5. Показани са 16-те върха на четириизмерен хиперкуб и как са свързани. Източник: Wikimedia Commons.
Разгъване на хиперкуба
Редовна геометрична фигура, например многогранник, може да се разгъне на няколко фигури с по-малка размерност.
В случай на 2-куб (квадрат) той може да бъде разделен на четири сегмента, тоест четири 1-куба.
По същия начин 3-кубче може да се разгъне в шест 2-кубчета.
Фигура 6. n-куб може да се разгъне в няколко (n-1) -кубчета. Източник: Wikimedia Commons.
4-куб (тесеракт) може да се разгъне на осем 3-кубика.
Следващата анимация показва разгръщането на тесеракт.
Фигура 7. 4-измерен хиперкуб може да се разгъне в осем триизмерни кубчета. Източник: Wikimedia Commons.
Фигура 8. Триизмерна проекция на четириизмерен хиперкуб, изпълняваща двойно въртене около две ортогонални равнини. Източник: Wikimedia Commons.
Препратки
- Научна култура. Хиперкуба, визуализираща четвъртото измерение. Възстановено от: culturacientifica.com
- Epsilons. Четириизмерен хиперкуб или тесеракт. Възстановени от: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Метод за получаване на тессеракт от развитието на хиперкуба (4D). Възстановена от: researchgate.net
- Уикикниги. Математика, полиедри, хиперкуби. Възстановено от: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Възстановено от: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Тесеракт. Възстановено от: en.wikipedia.com