ХОМОТЕЧНОСТ: СВОЙСТВА, ВИДОВЕ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В дилатация е геометрична промяна в равнина, която, от една фиксирана точка, наречена център (О), разстоянията се умножават по общ фактор. По този начин всяка точка Р съответства на друг продукт Р 'на преобразуването и те са подравнени с точка О.

И така, хомотечността е свързана с съответствие между две геометрични фигури, където преобразуваните точки се наричат ​​хомотетични и те са подравнени с фиксирана точка и със сегменти, успоредни една на друга.

Homothecy

Хомотечността е трансформация, която няма конгруентно изображение, защото от фигура ще се получат една или повече фигури с по-голям или по-малък размер от оригиналната фигура; тоест хомотечността превръща многоъгълник в друг подобен.

За да бъде изпълнена хомотечността, точка от точка и линия към линия трябва да съответстват, така че двойките хомоложни точки да са подравнени с трета фиксирана точка, която е центърът на хомотечността.

По същия начин двойките линии, които ги съединяват, трябва да са успоредни. Връзката между такива сегменти е константа, наречена коефициент на хомотечност (k); по такъв начин, че хомотечността може да бъде определена като:

За да извършим този вид трансформация, започваме с избора на произволна точка, която ще бъде центърът на хомотечността.

От този момент се очертават линии за всеки предел на фигурата, която трябва да се трансформира. Мащабът, в който се прави възпроизвеждането на новата фигура, се дава от съотношението на хомотечност (k).

Имоти

Едно от основните свойства на хомотечността е, че по хомотетичната причина (k) всички хомотетични фигури са сходни. Сред останалите изключителни свойства са следните:

- Центърът на хомотецията (O) е единствената двойна точка и тя се трансформира в себе си; това означава, че не варира.

- Линиите, които минават през центъра, се трансформират в себе си (те са двойни), но точките, които го съставят, не са двойни.

- Линиите, които не минават през центъра, се трансформират в успоредни линии; по този начин ъглите на хомотечност остават същите.

- Образът на сегмент чрез хомотечност на център O и съотношение k, е сегмент, успореден на това и има k пъти дължината му. Например, както може да се види на следващото изображение, сегмент AB от хомотечността ще доведе до друг сегмент A'B ', така че AB ще бъде успореден на A'B' и k ще бъде:

- Хомотетичните ъгли са конгруентни; тоест те имат една и съща мярка. Следователно изображението на ъгъл е ъгъл, който има същата амплитуда.

От друга страна, имаме, че хомотечността варира като функция от стойността на нейното съотношение (k) и могат да възникнат следните случаи:

- Ако константа k = 1, всички точки са фиксирани, защото се преобразуват. По този начин хомотетичната фигура съвпада с оригиналната и трансформацията ще се нарече функция за идентичност.

- Ако k ≠ 1, единствената неподвижна точка ще бъде центърът на хомотетика (O).

- Ако k = -1, хомотечността става централна симетрия (С); т.е. се извършва въртене около С, под ъгъл 180 ^или.

- Ако k> 1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-голям от размера на оригинала.

- Ако 0 <k <1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-малък от оригинала.

- Ако -1 <k <0, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-малък и ще се завърти по отношение на оригинала.

- Ако k <-1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-голям и ще се завърти спрямо оригинала.

Видове

Хомотечността може също да бъде класифицирана в два вида, в зависимост от стойността на нейното съотношение (k):

Директна хомотечност

Получава се, ако константата k> 0; тоест хомотетичните точки са от една и съща страна по отношение на центъра:

Коефициентът на пропорционалност или съотношението на сходство между преките хомотетични фигури винаги ще бъде положителен.

Обратна хомотечност

Тя възниква, ако константата k <0; т. е. началните точки и техните хомотетици са разположени в противоположните краища по отношение на центъра на хомотетичното, но подравнени към него. Центърът ще бъде между двете фигури:

Коефициентът на пропорционалност или коефициентът на сходство между обратните хомотетични фигури винаги ще бъде отрицателен.

композиция

Когато последователно се извършват няколко движения, докато се получи фигура, равна на оригинала, възниква композиция от движения. Съставът на няколко движения също е движение.

Съставът между две хомотечности води до нова хомотечност; това означава, че имаме произведение на хомотети, при което центърът ще бъде подравнен с центъра на двете първоначални трансформации, а съотношението (k) е произведение на двете съотношения.

По този начин, в състава на две хомотетии H ₁ (O ₁, k ₁) и H ₂ (O ₂, k ₂), умножението на техните съотношения: k ₁ xk ₂ = 1 ще доведе до хомотечност на съотношение k ₃ = k ₁ xk ₂. Центърът на тази нова хомотечност (O ₃) ще бъде разположен на линията O ₁ O ₂.

Хомотецията съответства на плоска и необратима промяна; Ако се приложат две хомотети, които имат еднакъв център и съотношение, но с различен знак, ще се получи оригиналната цифра.

Примери

Първи пример

Приложете хомотечност към дадения многоъгълник от центъра (O), разположен на 5 см от точка А и чието съотношение е k = 0.7.

Решение

Всяка точка е избрана като център на хомотечността и от тази точка се извеждат лъчи през върховете на фигурата:

Разстоянието от центъра (O) до точка A е OA = 5; С това може да се определи разстоянието на една от хомотетичните точки (OA '), като се знае също, че k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 х 5 = 3,5.

Процесът може да се извърши за всяка върха, или хомотетичният многоъгълник може също да бъде съставен, като се помни, че двата полигона имат успоредни страни:

И накрая, трансформацията изглежда така:

Втори пример

Приложете хомотечност към дадения многоъгълник с център (O), разположен на 8,5 см от точка С и чието съотношение у = k = -2.

Решение

Разстоянието от центъра (O) до точка C е OC = 8,5; С тези данни е възможно да се определи разстоянието на една от хомотетичните точки (OC '), като се знае също, че k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

След като нарисуваме сегментите на върховете на преобразувания многоъгълник, имаме, че началните точки и техните хомотетици са разположени в противоположните краища по отношение на центъра:

Препратки

1. Алваро Редон, AR (2004). Техническа рисунка: тетрадка за дейности.
2. Антонио Алварес де ла Роза, JL (2002). Афинитет, хомология и хомотечност.
3. Baer, ​​R. (2012). Линейна алгебра и проективна геометрия. Куриерска корпорация.
4. Hebert, Y. (1980). Обща математика, вероятности и статистика.
5. Meserve, BE (2014). Основни понятия на геометрията. Куриерска корпорация.
6. Nachbin, L. (1980). Въведение в алгебрата. Реверте.