ПИТАГОРСКИ ИДЕНТИЧНОСТИ: ДЕМОНСТРАЦИЯ, ПРИМЕР, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Питагорейските идентичности са всички тригонометрични уравнения, които притежават всяка стойност на ъгъла и се основават на теорията на Питагорей. Най-известната от питагорейските идентичности е основната тригонометрична идентичност:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Фигура 1. Питагорови тригонометрични идентичности.

Следваща по важност и използвам питагорейската идентичност на допирателната и секантната:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α)

И Питагоровата тригонометрична идентичност, включваща котангента и сексанта:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

демонстрация

Тригонометричните съотношения синус и косинус са представени на кръг с радиус 1 (1), известен като тригонометричен кръг. Споменатият кръг има своя център в началото на координатите O.

Ъглите се измерват от положителната полуоса на Xs, например ъгъл α на фигура 2 (виж по-долу). Обратно на часовниковата стрелка, ако ъгълът е положителен, и по посока на часовниковата стрелка, ако е отрицателен ъгъл.

Начертан е лъчът с начало O и ъгъл α, който пресича единичната окръжност в точка P. Точка P се проектира ортогонално върху хоризонталната ос X, пораждаща точка C. По същия начин P се проектира перпендикулярно на вертикалната ос Y, давайки място за точка S.

Имаме правилния триъгълник OCP в C.

Синус и косинус

Трябва да се помни, че синусът на тригонометричното съотношение се дефинира на десен триъгълник, както следва:

Синусът на ъгъл на триъгълника е съотношението или коефициента между крака срещу ъгъла и хипотенузата на триъгълника.

Приложен към триъгълника OCP от фигура 2, той ще изглежда така:

Sen (α) = CP / OP

но CP = OS и OP = 1, така че:

Sen (α) = ОС

Което означава, че проекционната ОС на оста Y има стойност, равна на синуса на показания ъгъл. Трябва да се отбележи, че максималната стойност на синуса на ъгъл (+1) възниква при α = 90º, а минималната (-1), когато α = -90º или α = 270º.

Фигура 2. Тригонометричен кръг, показващ връзката между Питагоровата теорема и основната тригонометрична идентичност. (Собствена разработка)

По същия начин косинусът на ъгъл е коефициентът между крака, съседен на ъгъла, и хипотенузата на триъгълника.

Приложен към триъгълника OCP от фигура 2, той ще изглежда така:

Cos (α) = OC / OP

но OP = 1, така че:

Cos (α) = OC

Това означава, че проекцията OC на оста X има стойност, равна на синуса на показания ъгъл. Трябва да се отбележи, че максималната стойност на косинуса (+1) възниква, когато α = 0º или α = 360º, докато минималната стойност на косинуса е (-1), когато α = 180º.

Основната идентичност

За правилния триъгълник OCP в C се прилага теорията на Питагор, която гласи, че сумата от квадрата на краката е равна на квадрата на хипотенузата:

CP ² + OC ² = OP ²

Но вече беше казано, че CP = OS = Sen (α), че OC = Cos (α) и че OP = 1, така че предишният израз може да бъде преписан като функция на синуса и косинуса на ъгъла:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Оста на допирателната

Точно както оста X в тригонометричния кръг е косинусовата ос, а оста Y - синусоидата, по същия начин има и допирателната ос (виж фигура 3), която е точно допирателната линия към единичния кръг в точката Б на координати (1, 0).

Ако искате да знаете стойността на тангента на ъгъл, ъгълът се извежда от положителната полуоса на X, пресечната точка на ъгъла с оста на тангента определя точка Q, дължината на сегмента OQ е допирателната на ъгъл.

Това е така, защото по дефиниция допирателната на ъгъла α е противоположният крак QB между съседния крак OB. Тоест, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Фигура 3. Тригонометричният кръг, показващ оста на допирателната и питагорейската идентичност на допирателната. (Собствена разработка)

Питагорейската идентичност на допирателната

Питагоровата идентичност на допирателната може да бъде доказана чрез разглеждане на правилния триъгълник OBQ в B (фигура 3). Прилагайки теоремата на Питагор за този триъгълник, имаме, че BQ ² + OB ² = OQ ². Но вече беше казано, че BQ = Tan (α), че OB = 1 и че OQ = Sec (α), така че замествайки в питагорейското равенство за правилния триъгълник OBQ, имаме:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α).

пример

Проверете дали питагорейските идентичности са изпълнени или не в правилния триъгълник на краката AB = 4 и BC = 3.

Решение: Краката са известни, трябва да се определи хипотенузата, която е:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Ъгълът ∡BAC ще се нарича α, ∡BAC = α. Сега се определят тригонометричните съотношения:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Значи α = BC / AB = 3/4

Котан α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Тя започва с основната тригонометрична идентичност:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Заключено е, че е изпълнено.

- Следващата питагорейска идентичност е тази на допирателната:

Тан ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

И се заключава, че идентичността на допирателната е проверена.

- По подобен начин като на котангента:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Заключено е, че той също е изпълнен, с което е изпълнена задачата за проверка на питагорейските идентичности за дадения триъгълник.

Решени упражнения

Докажете следните идентичности въз основа на определенията на тригонометричните съотношения и на питагорейските идентичности.

Упражнение 1

Докажете, че Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Решение: В дясната страна разпознаваме забележителния продукт от умножението на биномиал по неговия конюгат, което, както знаем, е разлика на квадрати:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Тогава терминът със синус от дясната страна преминава в лявата страна със знака, променен:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Отбелязвайки, че е достигната фундаменталната тригонометрична идентичност, така се прави изводът, че даденият израз е идентичност, тоест е вярно за всяка стойност на x.

Упражнение 2

Изхождайки от фундаменталната тригонометрична идентичност и използвайки определенията на тригонометричните съотношения, демонстрирайте питагорейската идентичност на сексанта.

Решение: Основната идентичност е:

Грех ² (x) + Cos ² (x) = 1

И двата члена са разделени от Sen ² (x) и знаменателят се разпределя в първия член:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Той е опростен:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) е (не-питагорейска) идентичност, която се проверява от самото определение на тригонометричните съотношения. Същото се случва със следната идентичност: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Накрая трябва да:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Препратки

1. Балдор Дж. (1973). Плоска и космическа геометрия с въведение в тригонометрията. Централноамериканска културна. променлив ток
2. CEA (2003). Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Grupo редакционна патрия.
4. Iger. (SF). Математика Първи семестър Tacaná. Iger.
5. Младши геометрия. (2014). Полигони. Lulu Press, Inc.
6. Милър, Херен и Хорнсби. (2006 г.). Математика: разсъждения и приложения (десето издание). Pearson Education.
7. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакционен прогрес.
8. Wikipedia. Тригонометрични идентичности и формули. Възстановено от: es.wikipedia.com