КАКВО ПРЕДСТАВЛЯВАТ ЕДНОВРЕМЕННИТЕ УРАВНЕНИЯ? (УПРАЖНЕНИЯ РЕШЕНИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На едновременни уравнения са тези уравнения, които трябва да бъдат изпълнени в същото време. Следователно, за да имате едновременни уравнения, трябва да имате повече от едно уравнение.

Когато имате две или повече различни уравнения, които трябва да имат едно и също решение (или едни и същи решения), се казва, че имате система от уравнения или също се казва, че имате едновременни уравнения.

Когато имаме едновременни уравнения, може да се случи, че те нямат общи решения или имат ограничено количество или имат безкрайно количество.

Едновременни уравнения

Като се имат предвид две различни уравнения Eq1 и Eq2, следва, че системата от тези две уравнения се нарича едновременни уравнения.

Едновременните уравнения удовлетворяват, че ако S е решение на Eq1, тогава S също е решение на Eq2 и обратно

характеристики

Когато става въпрос за система от едновременни уравнения, можете да имате 2 уравнения, 3 уравнения или N уравнения.

Най-често срещаните методи, използвани за решаване на едновременни уравнения, са: заместване, изравняване и редукция. Съществува и друг метод, наречен правило на Крамер, който е много полезен за системи с повече от две едновременни уравнения.

Пример за едновременни уравнения е системата

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Може да се види, че x = 0, y = 2 е решение на Eq1, но не е решение на Eq2.

Единственото общо решение, което имат и двете уравнения, е x = 1, y = 1. Тоест, x = 1, y = 1 е решението на системата от едновременни уравнения.

Решени упражнения

По-нататък продължаваме да решаваме системата от едновременни уравнения, показани по-горе, чрез 3-те споменати метода.

Първо упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, използвайки метода на заместване.

Решение

Методът на заместване се състои в решаване на едно от неизвестните в едно от уравненията и след това заместване в другото уравнение. В този конкретен случай можем да решим за "y" от Eq1 и получаваме, че y = 2-x.

Замествайки тази стойност на «y» в Eq2, получаваме, че 2x- (2-x) = 1. Следователно получаваме, че 3x-2 = 1, тоест x = 1.

Тогава, тъй като стойността на x е известна, тя се замества с "y" и получаваме, че y = 2-1 = 1.

Следователно единственото решение на системата от едновременни уравнения Eq1 и Eq2 е x = 1, y = 1.

Второ упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, използвайки метода на съвпадение.

Решение

Методът на съвпадение се състои в решаване на едно и също неизвестно в двете уравнения и след това съпоставяне на получените уравнения.

Решавайки за "x" от двете уравнения, получаваме, че x = 2-y, и че x = (1 + y) / 2. Сега тези две уравнения се приравняват и получаваме това 2-y = (1 + y) / 2, от което следва, че 4-2y = 1 + y.

Групирането на неизвестното "y" от една и съща страна води до y = 1. Сега, когато „y“ е известно, пристъпваме към намирането на стойността „x“. Замествайки y = 1, получаваме, че x = 2-1 = 1.

Следователно, общото решение между уравненията Eq1 и Eq2 е x = 1, y = 1.

Трето упражнение

Решете системата от уравнения Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, използвайки метода на редукция.

Решение

Методът на редукция се състои в умножаване на уравненията, дадени от съответните коефициенти, така че при добавянето на тези уравнения една от променливите да се отмени.

В този конкретен пример не е необходимо да се умножава всяко уравнение по който и да е коефициент, а просто да ги добавите. Като добавим Eq1 плюс Eq2, получаваме това 3x = 3, от което получаваме, че x = 1.

Когато оценяваме x = 1 в Eq1, получаваме, че 1 + y = 2, от което следва, че y = 1.

Следователно, x = 1, y = 1 е единственото решение на едновременните уравнения Eq1 и Eq2.

Четвърто упражнение

Решете системата от едновременни уравнения Eq1: 2x-3y = 8 и Eq2: 4x-3y = 12.

Решение

В това упражнение не се изисква конкретен метод, следователно може да се приложи методът, който е най-удобен за всеки читател.

В този случай ще се използва методът за намаляване. Умножаването на Eq1 на -2 дава уравнението Eq3: -4x + 6y = -16. Сега, добавяйки Eq3 и Eq2, получаваме, че 3y = -4, следователно y = -4 / 3.

Сега, когато оценяваме y = -4 / 3 в Eq1, получаваме, че 2x-3 (-4/3) = 8, от където 2x + 4 = 8, следователно, x = 2.

В заключение, единственото решение на системата от едновременни уравнения Eq1 и Eq2 е x = 2, y = -4 / 3.

наблюдение

Методите, описани в тази статия, могат да се прилагат към системи с повече от две едновременни уравнения.

Колкото повече уравнения и колкото повече неизвестни има, толкова по-сложна е процедурата за решаване на системата.

Всеки метод за решаване на системи от уравнения ще доведе до едни и същи решения, тоест решенията не зависят от прилагания метод.

Препратки

1. Fuentes, A. (2016). ОСНОВНА МАТА. Въведение в смятане. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратични уравнения.: Как се решава квадратично уравнение. Марил Гаро.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика за управление и икономика. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
5. Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
6. Rock, NM (2006). Алгебра I е лесна! Толкова е лесно. Team Rock Press.
7. Съливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.