ПРАВИЛО НА САРУС: ОТ КАКВО СЕ СЪСТОИ И ВИДОВЕ ДЕТЕРМИНАНТИ - КУЛТУРЕН РЕЧНИК - 2025

В правилото Sarrus се използва за изчисляване на резултата от 3 × 3 детерминанти. Те се използват за решаване на линейни уравнения и разберете дали те са съвместими.

Съвместимите системи улесняват получаването на решението. Те се използват и за определяне дали множествата вектори са линейно независими и формират основата на векторното пространство.

Тези приложения се основават на обратимостта на матриците. Ако една матрица е правилна, нейната детерминанта е различна от 0. Ако е единична, нейната детерминанта е равна на 0. Определителите могат да бъдат изчислени само в квадратни матрици.

За изчисляване на матрици от всякакъв ред може да се използва теоремата на Лаплас. Тази теорема ни позволява да опростим матриците с високи размери, в суми от малки детерминанти, които разлагаме от основната матрица.

Той заявява, че детерминантът на матрицата е равен на сумата от продуктите на всеки ред или колона, пъти по-голяма от детерминанта на съседната му матрица.

Това намалява детерминантите, така че детерминантът на степен n да стане n детерминанти на n-1. Ако прилагаме това правило последователно, можем да получим детерминанти на размер 2 (2 × 2) или 3 (3 × 3), където неговото изчисляване е много по-лесно.

Правило на Сарус

Пиер Фредерик Сарус беше френски математик от 19 век. Повечето от неговите математически трактати са базирани на методи за решаване на уравнения и смятане на вариации, в рамките на числови уравнения.

В един от трактатите си той решава една от най-сложните гатанки в механиката. За да реши проблемите на съчленените парчета, Сарус въведе трансформацията на алтернативни праволинейни движения, в равномерни кръгови движения. Тази нова система е известна като механизъм Sarrus.

Изследванията, които дадоха най-голяма известност на този математик, в който той въведе нов метод за изчисляване на детерминанти, в статията „Нов метод за изливане на уравнения“ (Нов метод за решаване на уравнения), който беше публикуван в година 1833. Този начин на решаване на линейни уравнения е известен като правилото на Сарус.

Правилото на Сарус позволява да се изчисли детерминантата на 3 × 3 матрица, без да е необходимо да се използва теоремата на Лаплас, въвеждайки много по-прост и интуитивен метод. За да проверим стойността на правилото на Сарус, ние вземаме всяка матрица от измерение 3:

Изчисляването на неговата детерминанта ще се извърши, като се използва произведението на основните му диагонали, като се извади произведението на обратните диагонали. Това ще бъде следното:

Правилото на Сарус ни позволява да получим много по-лесно виждане при изчисляване на диагоналите на детерминанта. Това би било опростено чрез добавяне на първите две колони към гърба на матрицата. По този начин по-ясно се вижда кои са основните му диагонали и кои са обратните, за изчисляване на продукта.

Чрез това изображение можем да видим приложението на правилото на Сарус, включваме редове 1 и 2, под графичното представяне на началната матрица. По този начин основните диагонали са трите диагонала, които се появяват първи.

Трите обратни диагонала, от своя страна, са тези, които се появяват първо отзад.

По този начин диагоналите се появяват по по-визуален начин, без да усложняват разделителната способност на детерминанта, опитвайки се да открият кои елементи от матрицата принадлежат към всеки диагонал.

Както се вижда на изображението, избираме диагоналите и изчисляваме получения продукт на всяка функция. Диагоналите, които се появяват в синьо, са тези, които се сумират. Към сумата от тях изваждаме стойността на диагоналите, които се появяват в червено.

За да улесним компресията, можем да използваме числов пример, вместо да използваме алгебрични термини и подтерми.

Ако вземем например 3 × 3 матрица, например:

За да приложим правилото на Сарус и да го решим по по-визуален начин, трябва да включим редове 1 и 2, съответно като редове 4 и 5. Важно е да запазите ред 1 на 4-та позиция, а ред 2 - на 5-та позиция. Тъй като ако ги разменяме, Правилото на Сарус няма да бъде ефективно.

За да изчислим детерминантата, нашата матрица ще бъде следната:

За да продължим с изчислението, ще умножим елементите на основните диагонали. Потомците, започващи отляво, ще имат положителен знак; докато обратните диагонали, които започват отдясно, имат отрицателен знак.

В този пример сините биха имали положителен знак, а червените - отрицателен. Окончателното изчисление на Правилото на Сарус ще изглежда така:

Видове детерминанти

Определител на измерение 1

Ако размерът на матрицата е 1, матрицата изглежда така: A = (a)

Следователно нейната детерминанта би била следната: det (A) = -A- = a

В обобщение, детерминантата на матрица A е равна на абсолютната стойност на матрица A, която в случая е a.

Определител на измерение 2

Ако преминем към матрици от измерение 2, получаваме матрици от типа:

Когато неговата детерминанта се определя като:

Разделителната способност на този детерминант се основава на умножението на основния му диагонал, изваждане на произведението на неговия обратен диагонал.

Като мнемоника можем да използваме следната диаграма, за да запомним нейната детерминанта:

Определител на измерение 3

Ако размерът на матрицата е 3, получената матрица ще бъде от този тип:

Детерминантът на тази матрица ще бъде решен чрез правилото на Сарус по този начин:

Препратки

1. Джени Олив (1998) Математика: Наръчник за оцеляване на студентите. Cambridge University Press.
2. Ричард Дж. Браун (2012) 30-секунда математика: 50-те най-разширяващи се умове теории в математиката. Ivy Press Limited.
3. Дейв Киркби (2004) Maths Connect. Хайнеман.
4. Awol Assen (2013) Проучване за изчисляването на детерминантите на 3 × 3 матрица. Академично издателство Lap Lambert
5. Anthony Nicolaides (1994) Определители и матрици. Pass Публикация
6. Джеси Ръсел (2012) Правило на Сарус.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Въведение в линейна алгебра. ESIC редакция.