ТЕХНИКИ ЗА БРОЕНЕ: ТЕХНИКИ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДА - 2024

На техники преброяване са серия от методи вероятност да брои броя на възможните мерки в рамките на определените или няколко набора от обекти. Те се използват, когато правите акаунти ръчно се усложнява поради големия брой обекти и / или променливи.

Например, решението на този проблем е много просто: представете си, че шефът ви моли да преброите най-новите продукти, пристигнали в последния час. В този случай можете да отидете и да преброите продуктите един по един.

Представете си обаче, че проблемът е в това: шефът ви моли да преброите колко групи от 5 продукта от един и същи вид могат да бъдат формирани с тези, които са пристигнали в последния час. В този случай изчислението е сложно. За този тип ситуации се използват така наречените техники за броене.

Тези техники са различни, но най-важните са разделени на два основни принципа, които са мултипликативният и добавката; пермутации и комбинации.

Мултипликативен принцип

Приложения

Мултипликативният принцип, заедно с добавката, са основни за разбирането на работата на техниките за броене. В случая на мултипликативната система се състои от следното:

Нека си представим дейност, която включва определен брой стъпки (отбелязваме общото като "r"), където първата стъпка може да се извърши по N1 начини, втората стъпка в N2 и стъпката "r" по Nr начини. В този случай дейността може да се извърши от броя на фигурите, получени в резултат на тази операция: N1 x N2 x ……….x Nr форми

Ето защо този принцип се нарича мултипликативен и той предполага, че всяка една от стъпките, необходими за осъществяване на дейността, трябва да се извършва една след друга.

пример

Нека си представим човек, който иска да построи училище. За да направите това, помислете, че основата на сградата може да бъде изградена по два различни начина, цимент или бетон. Що се отнася до стените, те могат да бъдат направени от Adobe, цимент или тухла.

Що се отнася до покрива, той може да бъде направен от цимент или поцинкована ламарина. И накрая, окончателното боядисване може да се извърши само по един начин. Въпросът, който възниква, е следният: Колко начини той трябва да изгради училището?

Първо, ние обмисляме броя на стъпките, които биха били основата, стените, покривът и боята. Общо 4 стъпки, така че r = 4.

Следното е да се изброят N-ите:

N1 = начини за изграждане на основата = 2

N2 = начини за изграждане на стените = 3

N3 = начини за направа на покрива = 2

N4 = начини на рисуване = 1

Следователно броят на възможните фигури ще бъде изчислен по формулата, описана по-горе:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 начина на учене.

Принцип на добавката

Приложения

Този принцип е много прост и се състои във факта, че при наличието на няколко алтернативи за извършване на една и съща дейност, възможните начини се състоят от сумата от различните възможни начини за осъществяване на всички алтернативи.

С други думи, ако искаме да извършим дейност с три алтернативи, където първата алтернатива може да бъде направена по M начини, втората по N начина, а последната по W начини, дейността може да се извърши по: M + N + ……… + W форми.

пример

Нека си представим този път човек, който иска да купи тенис ракета. За целта трябва да избирате три марки: Wilson, Babolat или Head.

Когато отидете в магазина, виждате, че ракетката Wilson може да бъде закупена с дръжката в два различни размера, L2 или L3 в четири различни модела и тя може да бъде нанизана или разрушена.

Рекетът Babolat, от друга страна, има три дръжки (L1, L2 и L3), има два различни модела и той също може да бъде нанизан или разрушен.

Ракетът Head, от своя страна, се предлага само с една дръжка, L2, в два различни модела и само откачен. Въпросът е: Колко пъти трябва този човек да си купи рекета?

M = Брой начини за избор на ракета на Уилсън

N = Брой начини за избор на ракета Babolat

W = Брой начини за избор на ракета за глава

Ние изпълняваме принципа на умножителя:

M = 2 x 4 x 2 = 16 фигури

N = 3 x 2 x 2 = 12 начина

W = 1 x 2 x 1 = 2 начина

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 начина за избор на ракета.

За да знаете кога да използвате мултипликативния принцип и добавката, трябва само да погледнете дали дейността има поредица от стъпки за изпълнение и ако има няколко алтернативи, добавката.

Пермутации

Приложения

За да разберете какво е пермутация, важно е да обясните какво е комбинация, за да можете да ги диференцирате и да знаете кога да ги използвате.

Комбинация би била подреждане на елементи, в които не се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Пермутация, от друга страна, би била подреждане на елементи, в които се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Нека дадем пример, за да разберем по-добре разликата.

пример

Нека си представим клас с 35 ученици и със следните ситуации:

1. Учителят иска трима негови ученици да му помогнат да поддържа класната стая чиста или да раздава материали на другите ученици, когато е необходимо.
2. Учителят иска да назначи делегатите на класа (президент, помощник и финансист).

Решението ще бъде следното:

1. Нека си представим, че на глас се избират Хуан, Мария и Лусия, които да почистят класа или да доставят материалите. Очевидно е, че може да са формирани и други групи от трима, сред 35-те възможни студенти.

Трябва да се запитаме следното: важен ли е редът или позицията на всеки ученик при избора им?

Ако се замислим, виждаме, че това наистина не е важно, тъй като групата ще отговаря на двете задачи еднакво. В този случай това е комбинация, тъй като не се интересуваме от позицията на елементите.

1. Нека сега си представим, че Хуан е избран за президент, Мария за помощник, а Лусия като финансист.

В този случай редът би ли имал значение? Отговорът е да, защото ако променим елементите, резултатът се променя. Тоест, ако вместо да поставим Хуан за президент, да го поставим за помощник, а Мария за президент, крайният резултат ще се промени. В този случай това е пермутация.

След като разликата е разбрана, ние ще получим формулите за пермутациите и комбинациите. Обаче първо трябва да определим термина "n!" (ene factorial), тъй като ще се използва в различните формули.

n! = продуктът от 1 до n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

Използвайте го с реални числа:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Формулата за пермутациите ще бъде следната:

nPr = n! / (nr)!

С него можем да разберем подредбите, когато редът е важен и къде n елементите са различни.

Комбинации

Приложения

Както коментирахме по-рано, комбинациите са подреждането, при което не ни интересува позицията на елементите.

Формулата му е следната:

nCr = n! / (nr)! r!

пример

Ако има 14 ученици, които искат доброволно да почистят класната стая, колко групи за почистване могат да се формират, ако всяка група трябва да бъде 5 души?

Следователно решението ще бъде следното:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 групи

Решени упражнения

Упражнение 1

Източник: Pixabay.com

Наталия е помолена от майка си да отиде до хранителен магазин и да й купи сода, за да се охлади. Когато Наталия пита чиновника за питие, той й казва, че има четири вкуса на безалкохолни напитки, три вида и три размера.

Ароматите на безалкохолните напитки могат да бъдат: кола, лимон, портокал и мента.

Видовете кола могат да бъдат: редовна, без захар, без кофеин.

Размерите могат да бъдат: малки, средни и големи.

Майката на Наталия не уточни каква безалкохолна напитка е искала.Колко начини Наталия трябва да купи напитката?

Решение

M = Размер и номер на типа, който можете да изберете, когато избирате кола.

N = Брой и размер, който можете да изберете, когато избирате лимонова сода.

W = Размер и номер на типа, който можете да изберете при избора на портокалова сода.

Y = Номер и размер, който можете да изберете, когато избирате сода от мента.

Ние изпълняваме принципа на умножителя:

М = 3 × 3 = 9 начина

N = 3 × 3 = 9 начина

W = 3 × 3 = 9 начина

Y = 3 × 3 = 9 начина

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 начина за избор на сода.

Упражнение 2

Източник: pixabay.com

Спортен клуб рекламира семинари за безплатен достъп на децата, за да се научат да карат кънки. Записват се 20 деца, така че решават да ги разделят на две групи от по десет души, така че инструкторите да могат да преподават класовете по-удобно.

От своя страна те решават да нарисуват в коя група ще попадне всяко дете. Колко различни групи би могло да влезе дете?

Решение

В този случай начинът да се намери отговор е с помощта на комбинираната техника, чиято формула беше: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (брой деца)

r = 10 (размер на групата)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184 756 групи.

Препратки

1. Джефри, RC, Вероятност и изкуството на съда, Cambridge University Press. (1992).
2. Уилям Фелер, „Въведение в теорията на вероятностите и нейните приложения“, (том 1), 3-то изд., (1968), Уили
3. Финети, Бруно де (1970). „Логически основи и измерване на субективната вероятност“. Acta Psychologica.
4. Хог, Робърт V.; Крейг, Алън; McKean, Джоузеф У. (2004). Въведение в математическата статистика (6-то изд.). Река на горното седло: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: доказателства и вероятност преди Паскал, Johns Hopkins University Press.