ПОСЛЕДОВАТЕЛНИ ПРОИЗВОДНИ (С РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На последователни производни са тези, получени от една функция след втората производно. Процесът за изчисляване на последователните производни е следният: ние имаме функция f, която можем да извлечем и по този начин да получим производната функция f '. Можем да извлечем това производно от f отново, получавайки (f ')'.

Тази нова функция се нарича втората производна; всички производни, изчислени от втората, са последователни; Те, наричани още по-висок ред, имат страхотни приложения, като например даване на информация за графиката на графиката на дадена функция, тест на второто производно за относителни крайности и определяне на безкрайни серии.

дефиниция

Използвайки нотацията на Лайбниц, имаме, че производната на функция "y" по отношение на "x" е dy / dx. За да изразим второто производно на "y", използвайки нотация на Лайбниц, пишем както следва:

Като цяло можем да изразим последователни производни, както следва с нотация на Лайбниц, където n представлява реда на производната.

Други използвани нотации са следните:

Някои примери, в които можем да видим различните обозначения са:

Пример 1

Получете всички производни на функцията f, дефинирани от:

Използвайки обичайните техники за извличане, имаме, че производната на f е:

Повтаряйки процеса можем да получим второто производно, третото производно и т.н.

Обърнете внимание, че четвъртата производна е нула, а производната от нула е нула, така че имаме:

Пример 2

Изчислете четвъртата производна на следната функция:

Извличане на дадената функция имаме в резултат:

Скорост и ускорение

Една от мотивациите, довели до откриването на производната, е търсенето на дефиницията на мигновена скорост. Официалното определение е следното:

Нека y = f (t) е функция, чиято графика описва траекторията на частица във време t, тогава нейната скорост във времето t се определя от:

След като скоростта на дадена частица е получена, можем да изчислим моменталното ускорение, което се определя както следва:

Моменталното ускорение на частица, чийто път е даден с y = f (t), е:

Пример 1

Частица се движи по линия според функцията за позициониране:

Където "y" се измерва в метри, а "t" в секунди.

- В кой момент е неговата скорост 0?

- В кой момент е неговото ускорение 0?

При извличане на позиционната функция «и» имаме, че нейната скорост и ускорение се дават съответно от:

За да се отговори на първия въпрос, достатъчно е да се определи кога функцията v става нула; това е:

Продължаваме със следния въпрос по аналогичен начин:

Пример 2

Частица се движи по линия в съответствие със следното уравнение на движение:

Определете "t, y" и "v", когато a = 0.

Знаейки, че скоростта и ускорението са дадени от

Пристъпваме към извличане и получаване:

Правейки a = 0, имаме:

Откъдето можем да заключим, че стойността на t за a е равна на нула е t = 1.

След това, оценявайки функцията на позицията и функцията на скоростта при t = 1, имаме:

Приложения

Изрично деривация

Последователните производни могат да бъдат получени и чрез неявно производно.

пример

Като се има предвид следната елипса, намерете "y":

Извеждайки имплицитно по отношение на x, ние имаме:

Тогава неявно повторното извличане по отношение на x ни дава:

И накрая, имаме:

Относителни крайности

Друга употреба, която можем да дадем на производни от втори ред, е в изчисляването на относителните крайности на функция.

Критерият на първата производна за локални крайности ни казва, че ако имаме непрекъсната функция f на интервал (a, b) и има c, което принадлежи на споменатия интервал, така че f 'изчезва в c (т.е. че c е критичен момент), може да възникне един от трите случая:

- Ако f´ (x)> 0 за всеки x, принадлежащ на (a, c) и f´ (x) <0 за x, принадлежащи на (c, b), тогава f (c) е локален максимум.

- Ако f´ (x) <0 за всеки x, принадлежащ на (a, c), и f (x)> 0 за x, принадлежащи на (c, b), тогава f (c) е локален минимум.

- Ако f´ (x) има същия вход (a, c) и in (c, b), това означава, че f (c) не е местна крайност.

Използвайки критерия на втората производна, можем да знаем дали критичното число на функция е локален максимум или минимум, без да се налага да виждаме какъв е знака на функцията в гореспоменатите интервали.

Критерият на втория дрейф ни казва, че ако f´ (c) = 0 и че f´´ (x) е непрекъснат в (a, b), се случва, че ако f´´ (c)> 0, тогава f (c) е локален минимум и ако f´´ (c) <0, тогава f (c) е локален максимум.

Ако f´´ (c) = 0, не можем да заключим нищо.

пример

Като се има предвид функцията f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ², намерете относителните максимуми и минимуми на f, използвайки критерия на второто производно.

Първо изчисляваме f´ (x) и f´´ (x) и имаме:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Сега, f´ (x) = 0, ако и само ако 4x (x + 2) (x - 1) = 0, и това се случва, когато x = 0, x = 1 или x = - 2.

За да определите дали получените критични числа са относителни крайности, достатъчно е да се оцени при f´ и по този начин да се наблюдава неговият знак.

f´´ (0) = - 8, така че f (0) е локален максимум.

f´´ (1) = 12, така че f (1) е локален минимум.

f´´ (- 2) = 24, така че f (- 2) е локален минимум.

Серия Тейлър

Нека f е функция, дефинирана както следва:

Тази функция има радиус на конвергенция R> 0 и има производни на всички порядки в (-R, R). Последователните производни на f ни дават:

Приемайки x = 0, можем да получим стойностите на c _n като функция на техните производни, както следва:

Ако вземем an = 0 като функция f (тоест f ^ 0 = f), тогава можем да пренапишем функцията, както следва:

Сега нека разгледаме функцията като поредица от мощности при x = a:

Ако извършим анализ, аналогичен на предишния, бихме могли да напишем функцията f като:

Тези серии са известни като Taylor серии от f до a. Когато a = 0 имаме конкретния случай, наречен серия Maclaurin. Този тип серии са от голямо математическо значение, особено в числовия анализ, тъй като благодарение на тях можем да дефинираме функции в компютри като e ^x, sin (x) и cos (x).

пример

Получете серията Maclaurin за e ^x.

Обърнете внимание, че ако f (x) = e ^x, тогава f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x и f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, така че неговата серия на Maclaurin е:

Препратки

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Изчисление 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Изчислението с аналитична геометрия. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисление. Мексико: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Диференциално смятане. Хипотенуза.
5. Saenz, J. (nd). Интегрално смятане. Хипотенуза.