АКСИОМАТИЧЕН МЕТОД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, СТЪПКИ, ПРИМЕРИ - КУЛТУРЕН РЕЧНИК - 2025

В аксиома метод или също наречен аксиома е формален процедура, използвана от науки с помощта на която са формулирани твърдения или предложения наречени аксиоми, свързани помежду си чрез връзка на приспадане и които са в основата на хипотезите или условия на определена система.

Това общо определение трябва да бъде формулирано в рамките на еволюцията, която тази методология е имала през цялата история. На първо място съществува древен или съдържателен метод, роден в Древна Гърция от Евклид и по-късно разработен от Аристотел.

Второ, още през XIX век, появата на геометрия с аксиоми, различни от тези на Евклид. И накрая, официалният или модерен аксиоматичен метод, чийто най-голям представител беше Дейвид Хилберт.

Извън своето развитие във времето тази процедура е била в основата на дедуктивния метод, използвана в геометрията и логиката, откъдето е възникнала. Използва се също във физиката, химията и биологията.

И дори се прилага в правната наука, социологията и политическата икономия. В момента обаче най-важната му сфера на приложение е математиката и символичната логика и някои отрасли на физиката като термодинамиката, механиката, наред с други дисциплини.

характеристики

Въпреки че основната характеристика на този метод е формулирането на аксиоми, те не винаги са били разглеждани по един и същи начин.

Има някои, които могат да бъдат определени и конструирани по произволен начин. И други, според модел, в който интуитивно се счита неговата гарантирана истина.

За да се разбере конкретно от какво се състои тази разлика и нейните последици, е необходимо да се премине през еволюцията на този метод.

Древен или съдържателен аксиоматичен метод

Той е създаден в Древна Гърция към V в. Пр. Н. Е. Нейната сфера на приложение е геометрията. Основната работа на този етап са Елементите на Евклид, въпреки че се смята, че преди него Питагор вече е родил аксиоматичния метод.

Така гърците приемат определени факти като аксиоми, без да изискват никакво логично доказателство, тоест без нужда от доказателство, тъй като за тях те са самоочевидна истина.

От своя страна Евклид представя пет аксиоми за геометрия:

1-Дадени две точки има линия, която ги съдържа или присъединява.

2-Всеки сегмент може да бъде непрекъснато разширен в неограничен ред от двете страни.

3-Можете да нарисувате кръг, който има център във всяка точка и всеки радиус.

4-Правилните ъгли са еднакви.

5 -Вземане на всяка права линия и всяка точка, която не е в нея, има права, успоредна на нея, която съдържа тази точка. По-късно тази аксиома е известна като аксиома от паралели и също е обозначена като: един единствен паралел може да бъде изведен от точка извън линия.

Както Евклид, така и по-късните математици са съгласни, че петата аксиома не е толкова интуитивно ясна, колкото другите 4. Дори по време на Ренесанса се прави опит да се изведе петата от останалите 4, но това не е възможно.

Това направи така, че още през XIX век тези, които поддържаха петимата, се застъпваха за евклидовата геометрия, а тези, които отричаха петата, са тези, които създават неевклидовите геометрии.

Неевклидов аксиоматичен метод

Именно Николай Иванович Лобачевски, Янос Болай и Йохан Карл Фридрих Гаус виждат възможността да се изгради без противоречие геометрия, която идва от системи на аксиоми, различни от тези на Евклид. Това унищожава вярата в абсолютната истина или априори на аксиомите и теориите, които произтичат от тях.

Следователно аксиомите започват да се разглеждат като отправни точки за дадена теория. Също както изборът му, така и проблемът с неговата валидност в един или друг смисъл, започват да се свързват с факти извън аксиоматичната теория.

По този начин се появяват геометрични, алгебраични и аритметични теории, изградени с помощта на аксиоматичния метод.

Този етап завършва с създаването на аксиоматични системи за аритметика като Джузепе Пеано през 1891 г.; Геометрията на Дейвид Хюбърт през 1899 г.; изявленията и предикатните изчисления на Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел, в Англия през 1910 г.; Аксиоматичната теория за множествата на Ернст Фридрих Фердинанд Цермело през 1908 г.

Модерен или формален аксиоматичен метод

Именно Дейвид Хуберт инициира концепцията за формален аксиоматичен метод и това води до неговата кулминация, Дейвид Хилберт.

Именно Хилберт формализира научния език, считайки неговите твърдения като формули или последователности от знаци, които нямат смисъл сами по себе си. Те придобиват смисъл само в определена интерпретация.

В „Основите на геометрията“ той обяснява първия пример на тази методология. Оттук нататък геометрията се превръща в наука за чисти логически последици, които са извлечени от система от хипотези или аксиоми, по-добре артикулирани от евклидовата система.

Това е така, защото в древната система аксиоматичната теория се основава на доказателствата за аксиомите. Докато в основата на формалната теория тя е дадена чрез демонстрация на непротиворечивостта на нейните аксиоми.

стъпки

Процедурата, която осъществява аксиоматично структуриране в рамките на научните теории, признава:

a - избор на определен брой аксиоми, тоест редица предложения на определена теория, които са приети, без да е необходимо да бъдат доказвани.

б-понятията, които са част от тези предложения, не се определят в рамките на дадената теория.

c-правилата за дефиниране и дедукция на дадената теория са зададени и позволяват въвеждането на нови понятия в теорията и логично да се извеждат някои предложения от други.

d-другите предложения на теорията, тоест теоремата, се извеждат от a на базата на c.

Примери

Този метод може да бъде проверен чрез доказателството на двете най-известни теореми на Евклид: теоремата за краката и теоремата за височината.

И двете произтичат от наблюдението на този гръцки геометър, че когато височината по отношение на хипотенузата е начертана в десен триъгълник, се появяват още два триъгълника от оригинала. Тези триъгълници са подобни една на друга и в същото време са подобни на триъгълника по произход. Това предполага, че съответните им хомоложни страни са пропорционални.

Вижда се, че конгруентните ъгли в триъгълниците по този начин потвърждават сходството, което съществува между трите включени триъгълника според критерия за сходност на AAA. Този критерий важи, че когато два триъгълника имат еднакви ъгли, те са сходни.

След като се покаже, че триъгълниците са сходни, пропорциите, посочени в първата теорема, могат да бъдат установени. Същото твърдение, че в десен триъгълник, мярката на всеки крак е геометричната пропорционална средна стойност между хипотенузата и проекцията на крака върху него.

Втората теорема е тази за височината. Той уточнява, че всеки десен триъгълник, височината, който се начертава според хипотенузата, е геометричната пропорционална средна стойност между сегментите, които се определят от споменатата геометрична средна стойност на хипотенузата.

Разбира се, и двете теореми имат многобройни приложения по целия свят не само в преподаването, но и в инженерството, физиката, химията и астрономията.

Препратки

1. Джованини, Едуардо Н. (2014) Геометрия, формализъм и интуиция: Дейвид Хилберт и формалният аксиоматичен метод (1895-1905). Revista de Filosofía, том 39 № 2, стр.121-146. Взета от списания.ucm.es.
2. Хилберт, Дейвид. (1918) Аксиоматична мисъл. В У. Евалд, редактор, от Кант до Хилберт: книга-източник в основата на математиката. Том II, стр. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009 г.). Какъв е аксиоматичният метод? Синтез, ноември 2011 г., том 189, стр.69-85. Взета от link.springer.com.
4. Лопес Ернандес, Хосе. (2005 г.). Въведение в съвременната философия на правото. (Pp.48-49). Взета от books.google.com.ar.
5. Ниренберг, Рикардо. (1996) Аксиоматичният метод, четене от Рикардо Ниренберг, есен 1996 г., университетът в Олбани, Проект Ренесанс. Взето от Albany.edu.
6. Вентури, Джорджо. (2015) Хилберт между формалната и неформалната страна на математиката. Ръкопис вол. 38 бр. 2, юли Кампинас / август 2015. Взета от scielo.br.